Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку
Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний технологічний університет
Кафедра ТМ та КТС
Група ЗІМ 03-1т
Курсова робота
з інформатики
на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»
Житомир
Зміст
Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку
Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Завдання № 1
Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+a 4x4+a5x5 з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4
Вихідні дані:
| Варіант | a0 | a1 | a2 | a3 | a4 | a5 |
| 2 | 1 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.5 | 2.3 |
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
Визначений інтеграл
чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули
Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд
де cj = 1,2,2,2,….2,1.
Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою
Елементарна площа визначається інтегралом
Враховуючи, що
Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)
де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.
У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.
Завдання № 2
Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.
Вихідні дані:
| Варіант | a0 | a1 | a2 | a3 |
| 2 | 1,3 | -7 | -4 | -4 |
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈ 0,17
2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .
В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:
При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:
Чергове k-е наближення:
В якості малої величини
беремо задану точність обчислень 
, тоді розрахункова формула має вигляд: 
При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:
Для першого наближення:
Для подальших наближень:
Завдання № 3,4
Наближення функцій поліномами вищого порядку
Функція y=f(x) задана таблицею значень
у точках 
. Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен 
найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина 
стабілізується або починає зростати.Вихідні дані:
| Варіант 2 | |||||||||||||||
| x | 0 | 0,375 | 0,563 | 0,75 | 1,125 | 1,313 | 1,5 | 1,690 | 1,875 | 2,063 | 2,25 | 2,438 | 2,625 | 2,813 | 3 |
| y | 4.568 | 3,365 | 2,810 | 2,624 | 0,674 | 0,557 | 0,384 | -0,556 | -1,44 | -1,696 | -1,91 | -2,819 | -3,625 | -3,941 | -4,367 |
Хід виконання:
1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.
2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення
.3. Будуємо гістограму залежності
від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.4. На одному графіку будуємо многочлени Pm, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.
Реалізація у MS Excel:
Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уі*хіj
За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:
Визначаємо обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).
Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).
Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі.
Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.
Визначаємо величину
для кожного полінома та будуємо гістограму: 
Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення
, але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функціїЗавдання № 5
Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0, y0), вибираючи крок інтегрування h, де
y(xi+h)=y(xi)+h·y'(xi)
Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.
Вихідні дані:
| Варіант | h | [a, b] | (x0, y0) |  |
| 2 | 0,2 | [0;1] | (0;1) |  |
Реалізація у MS Excel:
Графіки розрахованих даних:
