Численное интегрирование методом Гаусса (стр. 2 из 3)
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке: 
, где 
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h: 
, где 
Погрешность формулы трапеций: 
, где 
2.2 Метод парабол (метод Симпсона)
Использовав три точки отрезка интегрирования можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
.Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем
,где
. 2.4 Увеличение точности
Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.
Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.
При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для любого численного метода.
Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
2.5 Метод Гаусса
Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности (0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции
, то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности: 
.В общем случае, используя
точек, можно получить метод с порядком точности 
. Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени .Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.
2.6 Метод Гаусса-Кронрода
Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого (с вычислительной точки зрения) пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Использование правила Рунге требует вычисления подынтегральной функции примерно в таком же числе точек, не давая при этом практически никакого выигрыша точности, в отличие от простых методов, где точность увеличивается в разы при каждом новом разбиении. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла
,где
- узлы метода Гаусса по точкам, а 
параметров 
, 
, 
подобраны таким образом, чтобы порядок точности метода был равен 
.Тогда для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:
,где
- приближённое значение интеграла, полученное методом Гаусса по 
точкам.3. Описание методов вычислительной математики, которые будут использованы при решении поставленной задачи
Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в заменен подынтегральной функции апроксимирующей функцией, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях.
Аппроксимация, или приближение - математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.
Также в задачах такого рода активно используются интерполяционные методы нахождения значений функции.
Интерполя́ция - в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
На практике чаще всего применяют интерполяцию полиномами. Это связано прежде всего с тем, что полиномы легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество полиномов плотно в пространстве непрерывных функций.
3.1. Разработка алгоритма решения задачи и описание его особенностей
Пусть функция задана на стандартном интервале . Задача состоит в том, чтобы подобрать точки и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула
(1.1)
была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени.
Ввиду того, что имеется параметров и , а полином степени определяется коэффициентами, эта наивысшая степень в общем случае .
Запишем полином в виде и подставим в (1.1). Получим
,
.
Приравнивая выражения при одинаковых коэффициентах получим
, ,
, .
Итак, и находят из системы уравнений
,
,
, (1.2)
... ... .
.
Система (1.2) нелинейная, и ее решение найти довольно трудно. Рассмотрим еще один прием нахожденияи . Свойства полиномов Лежандра
,
таковы:
1) , ;
2) ;
3) полином Лежандра имеет различных и действительных корней, расположенных на интервале .
Составим по узлам интегрирования многочлен -й степени
.
Функция при есть многочлен степени не выше . Значит для этой функции формула Гаусса справедлива:
, (4.3)
так как .
Разложим в ряд по ортогональным многочленам Лежандра:
,
,
,
т.е. все коэффициенты при . Значит с точностью до численного множителя совпадает с . Таким образом, узлами формулы Гаусса являются нули многочлена Лежандра степени .