Численное интегрирование методом Гаусса (стр. 1 из 3)
КУРСОВАЯ РАБОТА
“Численное интегрирование методом Гаусса”
Федеральное агентство по образованию
Тульский государственный университет
КАФЕДРА РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
ИНФОРМАТИКА
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Вариант № 42
Студенту гр.220371 Подобеденко И.В.
1. Тема: "Численное интегрирование-методом Гаусса"
Разработайте алгоритм и программу:
1) вычисления определённого интеграла методом Гаусса и 2) построения графика функции я 3) построения нескольких (по 2 - 3) “шагов” интегрирования на участках возрастания и убывания функции.
Контрольный пример.
Исходные данные:
2. Срок представления курсовой работы на проверку с 12 по 15 мая 2008 г.
3. Защита курсовой работы с 19 по 23 мая 2008 г.
4. Требования к курсовой работе:
3.1 Разработать алгоритм и программу решения поставленной задачи.
3.2 Язык программирования - Паскаль.
3.3 Предусмотреть: а) диалоговый ввод исходных данных с проверкой правильности вводимых величин, б) блок пояснений к работе с программой, в) решение контрольного примера.
5. Форма отчётности:
пояснительная записка (ПЗ) объёмом 25-40 страниц на листах с рамками и штампом, отпечатанная на принтере,
графическая часть - лист формата А1,
дискета с текстом ПЗ, рисунком алгоритма и программой (текстовый и исполняемый файлы).
6. Содержание пояснительной записки к курсовой работе:
1) титульный лист,
2) задание на курсовую работу (настоявши бланк).
3) аннотация (краткая характеристика проделанной работы, объём ПЗ, количество таблиц, рисунков, схем. программ и приложений) с основной надписью по форме 2 (ГОСТ 2.104-68) - 1 с,
4) содержание (лист содержания и все последующие листы - с основной надписью по форме 2а - ГОСТ 2.104-68),
5) введение (область применения поставленной задачи, возможность использования ЭВМ для решения поставленной задачи) – 1-2 с,
6) анализ задания (выбор входных и выходных данных) – 2-3 с.
7) обзор литературных источников и разработка (выбор) математической модели задачи – 2-4 с,
8) описание методов вычислительной математики, которые будут использованы при решении поставленной задачи - 3-4 с,
9) разработка алгоритма решения задачи и описание его особенностей (разработанных или выбранных из готовых процедур и функций) - 5-7 с,
10) разработка программы по схеме алгоритма - 1-2 с.
11) разработка инструкции пользования программой - 1 с.
12) распечатка программы (текстовый файл) – допускается привести как приложение – 2-3 страницы
13) распечатка исходных данных и результатов решения контрольного примера – 1-2 с.
14) заключение (подробные выводы по проделанной работе) – 1-2 с.
15) список использованной литературы – 1 с.
16) приложения (инструкции пользования программой и др.)
7. Графическая часть: алгоритм решения поставленной задачи – лист формата A1
8. Литература.
Аннотация
В работе рассмотрены методы численного интегрирования функций. Для подробного рассмотрения был взят метод Гаусса.
В рамках курсовой работы реализован словесный и на языке блок-схем алгоритм и программа на языке программирования Паскаль, которая вычисляет заданный интеграл по методы Гаусса и показывает графическое отображение процесса.
Объем работы – 23 листа, количество рисунков – 2, представлена одна программа.
Содержание
Аннотация. 4
Введение. 6
1. Анализ задания. 8
2. Выбор математической модели задачи. 10
2.1 Метод прямоугольников. 10
2.2 Метод парабол (метод Симпсона) 11
2.4 Увеличение точности. 11
2.5 Метод Гаусса. 12
2.6 Метод Гаусса-Кронрода. 12
3. Описание методов вычислительной математики, которые будут использованы при решении поставленной задачи. 14
3.1. Разработка алгоритма решения задачи и описание его особенностей 15
3.2 Разработка программы по схеме алгоритма. 18
3.3 Разработка инструкции пользования программой. 19
3.4 Распечатка программы.. 19
3.5 Распечатка исходных данных и результатов решения контрольного примера 26
Заключение. 27
Список использованной литературы.. 28
Введение
Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) привело к подлинно революционному преобразованию пауки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ.
В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание, - вычислительный эксперимент, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики. Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание огромного раздела современной математики - вычислительной математики.
Численные методы дают приближенное решение задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение у другой задачи, близкое в некотором смысле (например, по норме) к искомому. Основная идея всех методов - дискретизация или аппроксимация (замена, приближение) исходной задачи другой задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем решение аппроксимирующей задачи зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно определить решение с требуемой точностью. Например, в задаче численного интегрирования такими параметрами являются узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дискретной задачи является элементом конечномерного пространства.
Численное интегрирование (историческое название: квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых, которые являются пределами интегрирования.
Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.
1. Анализ задания
Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида
где
- число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции. Точки 
называются узлами метода, числа 
- весами узлов. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.Пусть функция задана на интервале
. Задача состоит в том, чтобы подобрать точки и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула 
(3.1)была точной для всех полиномов наивысшей возможной степени.
Ввиду того, что имеется параметров и
, а полином степени определяется коэффициентами, эта наивысшая степень в общем случае .Таким образом, входными данными для нас будет являться подынтегральная функция f(x), пределы интегрирования a и b, количество узлов метода k. А также точность вычислений eps.
На выходе мы будем иметь значение определенного интеграла при заданном количестве разбиений и пределах интегрирования. Также мы получим графическое отображение процесса интегрирования на участках возрастания и убывания функции.
2. Выбор математической модели задачи
Кратко рассмотрим основные методы численного интегрирования и выясним почему метод Гаусса наиболее подходит для решения нашей задачи.
2.1 Метод прямоугольников
Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу. В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка
. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответствующие модификации носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. Формула для приближенного вычисления значения определённого интеграла методом прямоугольников имеет вид 
,где
, 
или 
, соответственно.