Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (стр. 2 из 5)

2.2.1 Вид характеристического уравнения

Запишем характеристическое уравнение найденной ПФ (формула 2):

2.2.2 Метод секущих.

Проведём локализацию корней:

Построим график функции

на интервале :

Рис.2. График характеристического полинома (3) на интервале

Уравнение имеет 1 действительный корень и 2 мнимых.

Уравнение решается методом секущих (4):

(4)

Возьмем начальное приближение

и для нахождения действительного корня.

S=-8.210097

Далее получим значения комплексных корней:

Подставим

в (5)

Получаем корни характеристического уравнения:

Вывод: 2 полюса передаточной функции находятся в правой полуплоскости. Система неустойчива.

2.2.3 Движение действительного корня полинома в s-плоскости

Построим график движения корня

в зависимости от номера итерации:

Рис.3. График движения корня

в зависимости от номера итерации

2.3 Аналитические выражения для АЧХ, ФЧХ, АФЧХ

График АЧХ:

Функции, определяемые зависимостями (6) и (7), называются соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками.

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

показатель колебательности

- характеризует склонность системы к колебаниям: чем выше , тем менее качественна система (как правило в реальных системах );

резонансная частота

- частота, при которой АЧХ имеет максимум (на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление);

полоса пропускания системы – интервал от

до , при котором выполняется условие ;

частота среза

- частота, при которой АЧХ системы принимает значение, равное , т.е. ;

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса; справедливо соотношение

. Таким образом можно сделать вывод: чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.

2.4. Годограф АФЧХ и графики АЧХ и ФЧХ с указанием частот

Рис.4 График АЧХ заданной САУ

Рис.5 График ФЧХ заданной САУ

Рис.6 График АФЧХ заданной САУ

2.5 Дифференциальное уравнение заданной САУ

Получим ДУ заданной САУ:

2.6 Нормальная форма Коши, полученного ДУ 3-го порядка

Так как ДУ заданной САУ имеет высокий порядок, то его необходимо свести к системе уравнений, каждое из которых должно иметь первый порядок, т.е. имеет место нормальная форма Коши:

. (9)

Так как ДУ заданной САУ имеет укороченную правую часть, то запишем нормальную форму Коши в следующем виде:

. (10)

Приведём уравнение (12) к нормальной форме Коши:

(11)

или

,

где

2.7 Аналитическое решение ДУ

Пусть задано изображение выхода

или .

Тогда используя вторую теорему разложения Лапласа

получим следующее аналитическое выражение для выходного сигнала:

реакция системы на единичное ступенчатое воздействие (

) (12):

(12)

2.8 Решение ДУ численным методом(метод Рунге-Кутта 5-го порядка и метод Адамса неявный 4-го порядка)

В неявных методах используется информация о возможном будущем значении решения в точке п+1. Это несколько повышает точность получаемых результатов по сравнению с явными методами.

Для организации вычислительного процесса по интерполяционной формуле Адамса, имеющей точность решения

(13):

необходимо заготовить начальные значения

, используя метод Рунге-Кутта 5-его порядка.

Приведенные коэффициенты:

Проведём исследование решения ДУ в зависимости от шага:

Графики выходного сигнала, полученного в аналитическом виде , выходного сигнала, полученного решением ДУ и ошибки решения при шаге h=0.1 и h=0.01, h=0.001.

Рис.7. Графики выходного сигнала

, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

Рис.8. Графики выходного сигнала

, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге