Численные методы интегрирования и оптимизации сложных систем (стр. 3 из 5)

Рис.9. Графики выходного сигнала

, полученного в аналитическом виде, выходного сигнала , полученного численным решением ДУ и ошибки решения при шаге

2.9 Анализа заданной системы с использованием спектрального метода (базис: Чебышева 2 рода)

Спектральная форма представления сигналов и временных динамических характеристик систем и объектов основана на их разложении в заданной системе ортогональных функций

Если некоторый сигнал

принадлежит пространству , т.е. для него справедливо положение

,

То он может быть представлен в виде ряда Фурье:

(14)

Если ввести векторы

то ряд (14) можно представить следующим образом

(15)

Совокупность коэффициентов Фурье

разложения сигнала в ряд (14) называется спектральной характеристикой этого сигнала.

Коэффициенты Фурье

определяются по формуле

(16)

Существенным и определяющим отличием спектрального описания дискретных сигналов от спектрального описания непрерывных сигналов на конечных интервалах является возможность их точного представления в виде рядов Фурье с конечным числом членов. Значит, если дискретный сигнал, а данный сигнал имеет место на входе ЭВМ после его аналого-цифрового преобразования (АЦП), задан на конечном множестве точек, например

, в виде некоторой числовой последовательности , то его разложение по заданной системе ортогональных функций

определяется соотношением

(17)

Система

- это система ортогональных, нормированных функций, удовлетворяющих условию

Коэффициенты Фурье

определяются по формуле

(18)

Далее вводим полиномы Чебышева 2-го рода (19):

(19)

2.9.1 Алгоритм построения спектральной характеристики(СХ)

1. Исходные уравнение (20):

(20)

Вычислим ядра

и (21):

(21)

3. Разложим

в ряды Фурье по заданному базису (22):

(22)

4. Получим значение Сх из приведенных ниже преобразований (23):

(23)

5. Найдем матрицу А:

6. Получены значения ядер:

7. Воздействие:

8. Значение вектора Cх:

9. Матрица А:

А=

Рис.10 Переходная функция, построенная спектральным методом

Рис.11 График выходного сигнала, полученного аналитически, сигнала, полученного спектральным методом и ошибки.

3. СИНТЕЗ

Исходные данные: структурная схема заданной системы изображена на рис. 12.

Введем в систему последовательное корректирующее устройство. В качестве регулятора выберем ПИД-регулятор.

Его передаточная функция имеет вид:

(24)

Рис.12: Структурная схема заданной САУ с корректирующим устройством в прямой цепи.

3.1 Передаточная функция замкнутой цепи скорректированной САУ

Найдём передаточную функцию разомкнутой цепи, если известна передаточная функция объекта (25):

(25)

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид (26):

(26)

Для решения задачи синтеза необходимо найти параметра регулятора

, структура которого заданна (формула 31), при которых реальный выходной сигнал , являющийся реакцией на единичное ступенчатое воздействие, будет близок к заданному эталонному сигналу .

В качестве эталонного выходного сигнала выберем следующий сигнал:

, (27)

где параметр

находится по следующей зависимости:

. (28)

3.2 Функционал качества, подлежащий дальнейшей минимизации

Критерием близости выберем метрику пространства

.

Тогда целевая функция, подлежащая минимизации по параметрам регулятора будет иметь следующий вид:

(29)

3.2.1 Поиск минимума функции методом Фибоначчи

Если начальный интервал

имеет длину , то произведя вычислений функции, можно уменьшить начальный интервал неопределённости в раз по следующей формуле:

(30)

по сравнению с его начальной длинной (пренебрегая

).

Если определить последовательность чисел Фибоначчи следующим образом:

для то можно найти положение первой точки, которая помещена на расстоянии от одного из концов начального интервала, причём не важно, от какого конца, поскольку вторая точка помещается согласно правилу симметрии на расстоянии от конца интервала:

. (31)