ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем (стр. 3 из 4)

2.3.10 Смена знаков у элементов матрицы и вектора

2.3.11 Задание комплексной матрицы и определение комплексно-сопряженной матрицы (ввести значок « ”»)

Выделение вещественных (Re) и мнимых (Im) составляющих элементов матрицы и восстановление комплексной матрицы по заданным матрицам из вещественных и мнимых элементов.

Комплексно-сопряжённая матрица

2.3.12 Операции со строками и столбцами матрицы

Задание матрицы с помощью столбцов:

Вычитание столбцов и строк:

2.3.13 Объединение матрицы А с вектором В и матрицы А с матрицей А

Используем функцию augment для объединения массивов, имеющих размеры m x n и m x p (то есть одинаковое число строк), расположенных бок о бок, образуя массив размеров m x (n + p).

Чтобы объединить два массива, располагая их друг над другом, ипользуется функция stack для объединения массивов, имеющих размеры m x n и p x n (то есть одинаковое число столбцов) , образуя массив размеров (m + p) x n .

2.3.14 Сортировка элементов вектора и матрицы

Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

· sort(v) — сортировка элементов вектора в порядке возрастания ;

· csort(A,i) — сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-го столбца в порядке возрастания;

· rsort(A,i) — сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементов i-й строки в порядке возрастания;

· reverse (v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке;

o v — вектор;

o А — матрица;

o i — индекс строки или столбца.

Если элементы матриц или векторов комплексные, то сортировка ведется по действительной части, а мнимая часть игнорируется.

2.3.15 Разложение матрицы на треугольную, ортогональную

L U-разложением матрицы А, или треугольным разложением, называется матричное разложение вида P A=L U и, где L и U — нижняя и верхняя треугольные матрицы (нули выше диагонали и ниже), соответственно. P,A,L,U — квадратные матрицы одного порядка.

· lu(A) — LU-разложение матрицы;

o А — квадратная матрица.

Фактически, треугольное разложение матрицы системы линейных уравнений производится при ее решении численным методом Гаусса.

Функция LU-разложения выдает составную матрицу. Выделить матрицы P,L,U несложно при помощи встроенной функции submatrix.

QR-разложением матрицы А называется разложение вида A=Q R, где Q — ортогональная матрица, а R — верхняя треугольная матрица.

· qr(A) —QR-разложение;

o А — вектор или матрица любого размера.

Результатом действия функции qr(A) является матрица L, составленная из матриц Q и R, соответственно. Чтобы выделить сами матрицы QR-разложения, необходимо применить функцию выделения подматрицы submatrix.

2.4 Использование матричных функций

2.4.1 Собственные значения и векторы собственных значений матрицы

а) Определение собственных значений с помощью характеристического уравнения

Пусть X и Y – векторы. А- квадратная матрица, оператор преобразования Х в Y. Часто бывают случаи, когда необходимо найти вектор ҳ и значение скаляра λ такие , что А· ҳ = λ·ҳ. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений λ1, λ2,... и соответствующих им собственных векторов x1, х2,...Значение скаляра λ носит название собственных значений квадратной матрицы А. Его можно получить из характеристического уравнения матрицы А.

Характеристическое уравнение матрицы имеет вид:

Его корни:

называются собственными числами матрицы А.

Их сумма равна сумме диагональных элементов матрицы А (или следу матрицы А)

Исходная

матрица:

Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4

Находим корни характеристического уравнения:

след сумма собственных чисел и матрицы

б) Определение вектора, элементами которого являются собственные значения матрицы с помощью функций Mathcad.