ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений (стр. 1 из 2)

Министерство Топлива и Энергетики Украины

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Тема:

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы алгебраических уравнений

Севастополь 2008

План

1. Данные варианта задания

2. Операции численного решения системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Холесского)

2.3 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом определителей

2.4 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

2.5 Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

Выводы по работе №2

1. Данные варианта задания

Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b

Таблица1. Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b.

№вар	Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b системы линейных алгебраических уравнений
	а11	а12	а13	а14	а21	а22	а23	а24	а31	а32	а33	а34	а41	а42	а43	а44	b1	b2	b3	b4
8	2,4	1,4	1,6	1,8	2,6	12	0,6	4,0	-0,8	0,85	0,1	0,2	0,4	1,2	1,0	1,5	0,1	0,2	-0,4	0,6

2. Операции численного решения системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=b1

a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=b2 (1)

a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=b3

a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=b4

Составим расширенную матрицу системы (1):

Преобразуем матрицу А, для чего умножим первую строку расширенной матрицы на а₂₁/а₁₁ и вычтем из второй строки расширенной матрицы, затем первую строку умножим на а₃₁/а₁₁ и вычтем из третьей строки расширенной матрицы, далее первую строку на а41/а11 и вычтем из четвёртой строки, что с помощью Mathcad будет выглядеть так:

Получили новые коэффициенты матрицы А:

Далее аналогично умножаем и вычитаем из второй строки:

Получили новые коэффициенты матрицы А, где число нулевых членов увеличилось.

Далее аналогично умножаем и вычитаем из третьей строки.

Проверим правильность нахождения корней:

Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31

2.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Холесского)

Метод Холесского заключается в представлении матрицы в виде произведения двух треугольных матриц L и U , имеющих следующий вид: диагональные элементы L матрицы равны единице, а элементы выше главной диагонали равны нулю; у матрицы U равны нулю элементы, лежащие ниже главной диагонали. Тогда можно записать:

,

что эквивалентно двум треугольным системам,

которые можно решить способом изложенным выше. Элементы l_ij, и u_ij матриц L и U можно найти, образуя произведение матриц LU и приравнивая его элементы последовательно элементам а₁₁, а₁₁……. а_nn матрицы А.

Последовательно приравниваем элементы полученной матрицы к элементам а₁₁, а₁₁……. а_nn матрицы А и находим элементы l_ij, и u_ij .

По первой строке: