Существует два способа установки барьера: дополнительным элементом или вместо крайнего элемента массива.
ПРИМЕР: Поиск с барьером
program Poisk2a;
var A:array[1..101] of integer;
N,X,i:integer;
begin
read(N); {N<=100}
for i:=1 to N do read(A[i]);
read(X);
A[N+1]:=X; {установка барьера дополнительным элементом}
i:=1; {i:=0;}
while A[i]<>X do i:=i+1;
{repeat i:=i+1; until A[i]=X;}
if i<=N then write('первое вхождение числа ',X,' в массив A на ',i,' месте')
else write('не нашли');
end.
program Poisk2b;
var A:array[1..100] of integer;
N,X,i,y:integer;
begin
read(N); {N<=100}
for i:=1 to N do read(A[i]);
read(X);
y:=A[N]; {сохранение последнего элемента}
A[N]:=X; {установка барьера на последнее место массива}
i:=1; {i:=0;}
while A[i]<>X do i:=i+1;
{repeat i:=i+1; until A[i]=X;}
if (i<N) or (y=X) then
write('первое вхождение числа ',X,' в массив A на ',i,' месте')
else write('не нашли');
A[N]:=y; {восстановление последнего элемента массива}
end.
Алгоритм двоичного поиска можно использовать для поиска элемента с заданным свойством только в массивах, упорядоченных по этому свойству. Так при поиске числа с заданным значением необходимо иметь массив, упорядоченный по возрастанию или по убыванию значений элементов. А, например, при поиске числа с заданной суммой цифр массив должен быть упорядочен по возрастанию или по убыванию сумм цифр элементов.
Идея алгоритма состоит в том, что массив каждый раз делится пополам и выбирается та часть, где может находиться нужный элемент. Деление продолжается пока часть массива для поиска больше одного элемента, после чего остается проверить этот оставшийся элемент на выполнение условия поиска.
Существуют две модификации этого алгоритма для поиска первого и последнего вхождения. Все зависит от того, как выбирается средний элемент: округлением в меньшую или большую сторону. В первом случае средний элемент относится к левой части массива, а во втором - к правой.
В процессе работы алгоритма двоичного поиска размер фрагмента, где этот поиск должен продолжаться, каждый раз уменьшается примерно в два раза. Это обеспечивает вычислительную сложность алгоритма порядка логарифма N по основанию 2, где N - количество элементов массива.
ПРИМЕР: Поиск в упорядоченном по возрастанию массиве первого вхождения числа X.
program Poisk3a;
var A:array[1..100] of integer;
N,X,left,right:integer;
begin
read(N); {N<=100}
write('введите упорядоченный по возрастанию массив');
for i:=1 to N do read(A[i]);
read(X);
left:=1; right:=N;
{левая и правая граница фрагмента для поиска}
while left<right do
begin
c:=(left + right) div 2;
{середина с округлением в меньшую сторону}
if X>A[c] then
{если массив упорядочен по убыванию, то if X<A[c]}
left:=c+1
{выбираем правую половину без середины, меняя left}
else right:=c;
{выбираем левую половину с серединой, меняя right}
end;
if X=A[left] then {здесь left = right, но не всегда = c}
write('первое вхождение числа ',X,' в массив A на ',left,' месте')
else write('не нашли');
end.
ПРИМЕР: Поиск в массиве, упорядоченном по возрастанию сумм цифр элементов массива, последнего числа с суммой цифр равной X.
program Poisk3b;
var A:array[1..100] of integer;
N,X,left,right:integer;
{функция считает сумму цифр числа a, здесь a - локальная переменная}
function Sum(a:integer):integer;
var s:integer;
begin
s:=0; a:=abs(a);
while a>0 do
begin
s:=s + a mod 10;
a:=a div 10;
end;
Sum:=s;
end;
begin
read(N); {N<=100}
write('введите массив, упорядоченный по возрастанию сумм цифр');
{например, для N=4 : 122, -432, 88, 593}
for i:=1 to N do read(A[i]);
read(X);
left:=1; right:=N;
{левая и правая граница фрагмента для поиска}
while left<right do
begin
c:=(left+right+1) div 2;
{середина с округлением в большую сторону}
if X>=Sum(A[c]) then left:=c
{выбираем правую половину с серединой, меняя left}
else right:=c-1;
{выбираем левую половину без середины, меняя right}
end;
if X=Sum(A[left]) then {здесь left = right, но не всегда = c}
write('последнее число с суммой цифр=',X,' равно',A[left], ' находится в массиве A на ',left,' месте')
else write('не нашли');
end.
Простейшая задача сортировки заключается в упорядочении элементов массива по возрастанию или убыванию. Другой задачей является упорядочение элементов массива в соответствии с некоторым критерием. Обычно в качестве такого критерия выступают значения определенной функции, аргументами которой выступают элементы массива. Эту функцию принято называть упорядочивающей функцией.
Существуют различные методы сортировки. Будем рассматривать каждый из методов на примере задачи сортировки по возрастанию массива из N целых чисел.
Идея метода заключается в том, что находится максимальный элемент массива и меняется местами с последним элементом (с номером N). Затем, максимум ищется среди элементов с первого до предпоследнего и ставится на N-1 место, и так далее. Необходимо найти N-1 максимум. Можно искать не максимум, а минимум и ставить его на первое, второе и так далее место. Также применяют модификацию этого метода с одновременным поиском максимума и минимума. В этом случае количество шагов внешнего цикла N div 2.
Вычислительная сложность сортировки выбором - величина порядка N*N, что обычно записывают как O(N*N). Это объясняется тем, что количество сравнений при поиске первого максимума равно N-1. Затем N-2, N-3, и так далее до 1, итого: N*(N-1)/2.
ПРИМЕР: Сортировка выбором по возрастанию массива A из N целых чисел.
program Sort_Vybor1;
var A:array[1..100] of integer;
N,i,m,k,x : integer;
begin
write('количество элементов массива ');
read(N);
for i:=1 to n do read(A[i]);
for k:=n downto 2 do { k - количество элементов для поиска max }
begin
m:=1; { m - место max }
for i:=2 to k do if A[i]>A[m] then m:=i;
{меняем местами элементы с номером m и номером k}
x:=A[m]; A[m]:=A[k]; A[k]:=x;
end;
for i:=1 to n do write(A[i],' '); {упорядоченный массив}
end.
ПРИМЕР: Та же задача с одновременным выбором max и min.
program Sort_Vybor2;
var A:array[1..100] of integer;
N,i,m,k,x,p : integer;
begin
write('количество элементов массива ');
read(N);
for i:=1 to n do read(A[i]);
for k:=1 to n div 2 do { k - номер пары max и min }
begin
m:=k; { m - место max }
p:=k; { p - место min }
{max и min ищутся среди элементов с k до n-k+1}
for i:=k+1 to n-k+1 do
if A[i]>A[m] then m:=i
else if A[i]<A[p] then p:=i;
{меняем местами элементы с номером p и номером k}
x:=A[p]; A[p]:=A[k]; A[k]:=x;
if m=k then m:=p;
{если max стоял на месте k, то сейчас он на месте p}
{меняем местами элементы с номером m и номером n-k+1}
x:=A[m]; A[m]:=A[n-k+1]; A[n-k+1]:=x;
end;
for i:=1 to n do write(A[i],' '); {упорядоченный массив}
end.
СОРТИРОВКА ОБМЕНОМ (методом "пузырька")
Идея метода заключается в том, что последовательно сравниваются пары соседних элементов массива. Если они располагаются не в том порядке, то совершаем перестановку, меняя местами пару соседних элементов. После одного такого прохода на последнем месте номер N окажется максимальный элемент ("всплыл" первый "пузырек"). Следующий проход должен рассматривать элементы до предпоследнего и так далее. Всего требуется N-1 проход. Вычислительная сложность сортировки обменом O(N*N).
ПРИМЕР: Сортировка обменом по возрастанию массива A из N целых чисел. (Базовый вариант)
program Sort_Obmen1;
var A:array[1..100] of integer;
N,i,k,x : integer;
begin
write('количество элементов массива ');
read(N);
for i:=1 to n do read(A[i]);
for k:=n-1 downto 1 do { k - количество сравниваемых пар }
for i:=1 to k do
if A[i]>A[i+1] then
{меняем местами соседние элементы}
begin x:=A[i]; A[i]:=A[i+1]; A[i+1]:=x; end;
for i:=1 to n do write(A[i],' '); {упорядоченный массив}
end.
Можно заметить, что если при выполнении очередного прохода в сортировке обменом не произведено ни одной перестановки, то это означает, что массив уже упорядочен. Таким образом, можно модифицировать алгоритм, чтобы следующий проход делался только при наличии перестановок в предыдущем.
ПРИМЕР: Сортировка обменом с проверкой факта перестановки.
program Sort_Obmen2;
var A:array[1..100] of integer;
N,i,k,x : integer; p:boolean;
begin
write('количество элементов массива ');
read(N);
for i:=1 to n do read(A[i]);
k:=n-1; {количество пар при первом проходе}
p:=true; {логическая переменная p истинна, если были
перестановки, т.е. нужно продолжать сортировку}
while p do
begin
p:=false;
{Начало нового прохода. Пока перестановок не было.}
for i:=1 to k do
if A[i]>A[i+1] then
begin
x:=A[i]; A[i]:=A[i+1]; A[i+1]:=x;
{меняем элементы местами}
p:=true; {и запоминаем факт перестановки}
end;
k:=k-1;
{уменьшаем количество пар для следующего прохода}
end;
for i:=1 to n do write(A[i],' '); {упорядоченный массив}
end.
Следующая модификация алгоритма сортировки обменом получается при запоминании места последней перестановки. Если при очередном проходе последней парой элементов, которые поменялись местами, были A[i] и A[i+1], то элементы массива с i+1 до последнего уже стоят на своих местах. Использование этой информации позволяет нам сделать количество пар для следующего прохода равным i-1.
ПРИМЕР: Сортировка обменом с запоминанием места последней перестановки.
program Sort_Obmen3;
var A:array[1..100] of integer;
N,i,k,x,m : integer;
begin
write('количество элементов массива ');
read(N);
for i:=1 to n do read(A[i]);
k:=n-1; {количество пар при первом проходе}
while k>0 do
begin
m:=0;
{пока перестановок на этом проходе нет, место равно 0}
for i:=1 to k do
if A[i]>A[i+1] then
begin
x:=A[i]; A[i]:=A[i+1]; A[i+1]:=x; {меняем элементы местами}
m:=i; {и запоминаем место перестановки}
end;
k:=m-1; {количество пар зависит от места последней перестановки}
end;
for i:=1 to n do write(A[i],' '); {упорядоченный массив}
end.