Генерация матриц (стр. 4 из 8)
(1.19)
(1.20)
Вставляя (1.19) и (1.20) в правую часть (1.13) и собирая коэффициент при
, получается, что 
в сумме (1.18) определяется той же самой формулой (1.17), что и в равенстве (1.14).Теорема 1.1 доказана.
Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя n‑го порядка по любой его строке. Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя n– го порядка по любому его столбцу. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.
Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца j(j=1,2,…,n), для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула
(1.21)называемая разложением этого определителя по j‑му столбцу.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для j= 1, т.е. установить формулу разложения по первому столбцу
,(1.22)иначе если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого j=2,3,…,nдостаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1.1.
Формула (1.22) устанавливается по индукции.
При n = 2 эта формула проверяется элементарно (так как при n = 2 миноры элементов первого столбца имеют вид
то при n = 2 правая часть (1.22) совпадает с правой частью (1.10)).Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка n– 1 и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости этой формулы для определителя порядка n.
С этой целью выделим в правой части формулы (1.12) для определителя n – го порядка ∆первое слагаемое
,а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (n‑1) – го порядка 
по первому столбцу.В результате формула (1.12) будет иметь вид
, (1.23)где 
– некоторые подлежащие определению коэффициенты. Для вычисления минор
получается при разложении по первому столбцу только одного из миноров (n‑1) – го порядка, отвечающих первой строке, – минора . В разложении минора (при 
) по первому столбцу записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент ai1минора (при ) стоит на пересечении (i‑1) – й строки и первого столбца этого минора, получается, что при 
(1.24)Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) и собирая коэффициент при
, видно,что коэффициент в формуле (1.23) имеет вид
(1.25)
Остается доказать, что и правая часть (1.22) равна сумме, стоящей в правой части (1.23) с теми же самыми значениями (1.25) для .
Для этого в правой части (1.22) выделяется первое слагаемое
, а в каждом из остальных слагаемых раскладывается минор (n‑1) – го порядка 
по первой строке.В результате правая часть (1.22) представится в виде суммы первого слагаемого
и линейной комбинацией с некоторыми коэффициентами миноров (n‑2) – го порядка ,т.е. в виде 
, (1.26)и остается вычислить множители 
и убедиться в справедливости для них формулы (1.25).
Для этого можно заметить, что минор
получается в результате разложения по первой строке только одного из миноров n– 1‑го порядка, отвечающих первому столбцу, – минора 
. В разложении минора (при 
) по первой строке записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент 
минора стоит на пересечении первой строки и (j‑1) – го столбца этого минора, получается, что при 
(1.27)Вставляя (1.24) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при
,следует, что в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (1.25), что и в равенстве (1.23). Теорема 1.2 доказана.Выражение определителя непосредственно через его элементы. Установим формулу, выражающую определитель n‑го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).
Пусть каждое из чисел 
принимает одно из значений 1, 2, …, n,причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа являются некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, n). Образуем из чисел все возможные пары
и можно говорить, что пара образует беспорядок, если 
при i<j. Общее число беспорядков, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел , обозначим символом 
.С помощью метода индукции установим для определителя n‑го порядка (1.11) следующую формулу:
(1.28)(суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам чисел 1, 2, …, n;число этих перестановок, очевидно, равно n!).
В случае n =2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку N (1,2)=0, N (2,1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).
С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при n>2 справедлива для определителя порядка (n‑1).
Тогда, записав разложение определителя п-го порядка (1.11) по первому столбцу:
, (1.29)можно, в силу предположения индукции, представить каждый минор (n‑1) – го порядка
в виде 
(1.30)