Вставляя (1.19) и (1.20) в правую часть (1.13) и собирая коэффициент при
Теорема 1.1 доказана.
Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя n‑го порядка по любой его строке. Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя n– го порядка по любому его столбцу. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.
Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца j(j=1,2,…,n), для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула
называемая разложением этого определителя по j‑му столбцу.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для j= 1, т.е. установить формулу разложения по первому столбцу
иначе если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого j=2,3,…,nдостаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1.1.
Формула (1.22) устанавливается по индукции.
При n = 2 эта формула проверяется элементарно (так как при n = 2 миноры элементов первого столбца имеют вид
Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка n– 1 и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости этой формулы для определителя порядка n.
С этой целью выделим в правой части формулы (1.12) для определителя n – го порядка ∆первое слагаемое
В результате формула (1.12) будет иметь вид
где
Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) и собирая коэффициент при
что коэффициент
Остается доказать, что и правая часть (1.22) равна сумме, стоящей в правой части (1.23) с теми же самыми значениями (1.25) для
Для этого в правой части (1.22) выделяется первое слагаемое
В результате правая часть (1.22) представится в виде суммы первого слагаемого
и остается вычислить множители
Для этого можно заметить, что минор
Вставляя (1.24) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при
Выражение определителя непосредственно через его элементы. Установим формулу, выражающую определитель n‑го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).
Пусть каждое из чисел
С помощью метода индукции установим для определителя n‑го порядка (1.11) следующую формулу:
(суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам
В случае n =2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку N (1,2)=0, N (2,1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).
С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при n>2 справедлива для определителя порядка (n‑1).
Тогда, записав разложение определителя п-го порядка (1.11) по первому столбцу:
можно, в силу предположения индукции, представить каждый минор (n‑1) – го порядка