(суммирование идет по всем возможным перестановкам
Так как из чисел
Отсюда вытекает, что
Теорема Лапласа.В этом пункте устанавливается формула, обобщающая формулу разложения определителя n‑го порядка по какой-либо его строке.
С этой целью вводится в рассмотрение миноры матрицы n– го порядка (1.8) двух типов.
Пусть k– любой номер, меньший n, a
Миноры первого типа
Миноры второго типа
Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа.
Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере k, меньшем n, и при любых фиксированных номерах строк
называемая разложением этого определителя по k строкам
Доказательство. Прежде всего формула (1.31) является обобщением уже доказанной формулы разложения определителя n‑го порядка по одной его строке с номером i1,в которую она переходит при k= 1 (при этом минор
Таким образом, при k = 1 формула (1.31) доказана. Доказательство этой формулы для любого k,удовлетворяющего неравенствам 1 < k< n,проводится по индукции, т.е. формула (1.31) справедлива для (k‑1) строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.31) для kстрок.
Итак, пусть 1 < k< nи фиксированы какие угодно kстрок матрицы (1.8) с номерами
(суммирование идет по всем возможным значениям индексов
Разложим в формуле (1.32) каждый минор
и остается вычислить коэффициенты
С этой целью заметно, что минор (n–k) – го порядка
ибо каждый из остальных содержащих строку isминоров (n–k+1) – го порядка не содержит всех строк и всех столбцов минора
В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером ikвыписывается только то слагаемое, которое содержит минор
Теперь остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель
и после этого суммируется по всем s от 1 до k. Имея также в виду, что
Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой разложение минора
В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо kего столбцам.
Свойства определителей. Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n‑го порядка.
Свойство равноправности строк и столбцов.Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы Aполучается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице Aи обозначаемая символом A'.
В дальнейшем мы договоримся символом |A|, |B|, |A'|…обозначать определители квадратных матриц A,B, A'… соответственно.
Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. |А'|=|А|.
Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя |A|по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя | A' | по первой строке).
Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строки быть уверенными в справедливости их и для столбцов.