Генерация матриц (стр. 5 из 8)
(суммирование идет по всем возможным перестановкам 
(n– 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до n,за исключением числа 
).
Так как из чисел 
, кроме пар, образованных из чисел ,можно образовать еще только следующие пары 
,и поскольку среди чисел ,найдется ровно ( 
–1) чисел, меньших числа , то 
= 
+ -1.
Отсюда вытекает, что
и, вставляя (1.30) в (1.29), получается формула (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен.Теорема Лапласа.В этом пункте устанавливается формула, обобщающая формулу разложения определителя n‑го порядка по какой-либо его строке.
С этой целью вводится в рассмотрение миноры матрицы n– го порядка (1.8) двух типов.
Пусть k– любой номер, меньший n, a
и 
– произвольные номера, удовлетворяющие условиям 
, 
.Миноры первого типа
являются определителями порядка k, соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении kстрок с номерами и kстолбцов с номерами .Миноры второго типа
являются определителями порядка n–k, соответствующими той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания kстрок с номерами и kстолбцов с номерами .Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа.
Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере k, меньшем n, и при любых фиксированных номерах строк
таких, что , для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула 
, (1.31)называемая разложением этого определителя по k строкам
. Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов , удовлетворяющим условиям .Доказательство. Прежде всего формула (1.31) является обобщением уже доказанной формулы разложения определителя n‑го порядка по одной его строке с номером i1,в которую она переходит при k= 1 (при этом минор
совпадает с элементом 
, а минор 
– это введенный выше минор элемента ).Таким образом, при k = 1 формула (1.31) доказана. Доказательство этой формулы для любого k,удовлетворяющего неравенствам 1 < k< n,проводится по индукции, т.е. формула (1.31) справедлива для (k‑1) строк, и, опираясь на это, убедимся в справедливости формулы (1.31) для kстрок.
Итак, пусть 1 < k< nи фиксированы какие угодно kстрок матрицы (1.8) с номерами
,удовлетворяющими условию . Тогда по предположению для (k‑1) строк с номерами справедлива формула 
(1.32)(суммирование идет по всем возможным значениям индексов
удовлетворяющим условиям 
.Разложим в формуле (1.32) каждый минор
по строке, имеющей в матрице (1.8) номер ik. В результате весь определитель ∆будет представлен в виде некоторой линейной комбинации миноров 
коэффициентами, которые мы обозначим через 
, т.е. для ∆ будет справедливо равенство 
,и остается вычислить коэффициенты и убедиться в том, что они равны
. (1.33)
С этой целью заметно, что минор (n–k) – го порядка
получается в результате разложения по строке с номером ikтолько следующих kминоров (n–k+1) – го порядка: 
( 
), (1.34)ибо каждый из остальных содержащих строку isминоров (n–k+1) – го порядка не содержит всех строк и всех столбцов минора
.В разложении каждого минора (1.34) по строке матрицы (1.8) с номером ikвыписывается только то слагаемое, которое содержит минор
(остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что в каждом миноре (1.34) элемент 
стоит на пересечении [ik– (k‑1)] – й строки и [js– (s‑1)] – го столбца этого минора, получим 
Теперь остается учесть, что в формуле (1.32) каждый минор (1.34) умножается на множитель
и после этого суммируется по всем s от 1 до k. Имея также в виду, что
, получаем, что 
.
Замечая, что сумма в квадратных скобках представляет собой разложение минора
последней k‑й строке, в итоге получим для формулу (1.33). Теорема Лапласа доказана.В полной аналогии с формулой (1.32) записывается и выводится формула разложения определителя по каким-либо kего столбцам.
Свойства определителей. Ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n‑го порядка.
Свойство равноправности строк и столбцов.Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы Aполучается матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице Aи обозначаемая символом A'.
В дальнейшем мы договоримся символом |A|, |B|, |A'|…обозначать определители квадратных матриц A,B, A'… соответственно.
Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. |А'|=|А|.
Это свойство непосредственно вытекает из теоремы 1.2 (достаточно лишь заметить, что разложение определителя |A|по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя | A' | по первой строке).
Доказанное свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства устанавливать лишь для строки быть уверенными в справедливости их и для столбцов.