2Cn[f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n)],(1.11)

де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.

Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ.(1.12)

Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:

(a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ)=2(a₀+

a₂+

a₃+...).(1.13)

У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:

f(x₁)=a₀+a₁x₁+a₂x₁²+a₃x₁³+...+a_nx₁ⁿ,

f(x₂)=a₀+a₁x₂+a₂x₂²+a₃x₂³+...+a_nx₂ⁿ,

f(x₃)=a₀+a₁x₃+a₂x₃²+a₃x₃³+...+a_nx₃ⁿ,(1.14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f(x_n)=a₀+a₁x_n+a₂x_n²+a₃x_n³+...+a_nx_nⁿ,

Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:

2(a₀+

a₂+

a₄+...)=2c_n[na₀+a₁(x₁+x₂+...+x_n)+a₂(x₁²+x₂²+...+x_n²)+

+a₃(x₁³+x₂³+...+x_n³)+...+a_n(x₁ⁿ+x₂ⁿ+...+x_nⁿ)].(1.15)

Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a₀,a₁,...,a_n; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки

C_n=

.(1.16)

і, крім цього,

x₁+x₂+x₃+...+x_n=0,

x₁²+x₂²+x₃²+...+x_n²=

x₁³+x₂³+x₃³+...+x_n³=0,(1.17)

x₁⁴+x₂⁴+x₃⁴+...+x_n⁴=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x₁ⁿ+x₂ⁿ+x₃ⁿ+...+x_nⁿ=

[1-(-1)ⁿ⁺¹],

Підставляючи знайдене для С_n виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:

[f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n)],(1.18)

де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).

Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.

Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:

[f(z₁)+f(z₂)+...+f(z_n)],(1.19)

де

Таблиця 1.2.

Числоординат	Значення абсцис
n = 2n = 3n = 4n = 5n = 6n = 7	-x1 = x2 = 0.577350 -x1 = x3 = 0.707107; x2 = 0-x1 = x4 = 0.794654; -x2 = x3 = 0.187592-x1 = x5 = 0.832498; -x2 = x4 = 0.374541; х3 = 0-x1 = x6 = 0.866247; -x2 = x5 = 0.4225І9; -x3 = x4 = 0.266635-x1 = x7 = 0.883862; -x2 = x6 = 0.529657; -x3= = x5 = 0.323912; x4 = 0

Z_i=

x_i, (i=1,2,...,n),(1.20)

а xi мають вкaзані в таблиці значення.

Похибка обчислень за методом Чебишева знаходиться за формулою:

2. Розробка та опис логічної частини програми

Програма складається з двох блоків. Це – інтерфейний модуль, що забезпечує користувача змогою спілкуватися з комп’ютером за допомогою клавіатури, та сама програма, що здійснює всі обчислювальні операції.

При запуску спершу ініціюється графіка та створюється меню і ініціюються змінні. Потім іде блок зчитування з клавіатури. Він аналізує введену користувачем інформацію і згідно з нею виконує певні дії. При натисканні на клавіші управління курсором відбувається переміщення по меню. При натисканні на клавішу Enter відбувається аналіз кнопки, яка була обрана на даний момент, і згідно з цим виконання певних дій. Це можуть бути такі операції:

1) обчислення інтегралу методом Чебишева 3-го порядку: виконується алгоритм, який детально пояснено в додатку Б.

2) обчислення інтегралу методом Чебишева 4-го порядку.

3) обчислення інтегралу методом Чебишева 5-го порядку

4) Задається крок обчислення h=0.1;

5) Задається крок обчислення h=0.2;

6) Задається крок обчислення h=0.5;

7) Про автора – довідка про автора програми;

8) Вихід з програми – здійснюється вихід з програмного середовища ТР;

Робота даної програми починається з підключення стандартного модуля введення-виведення crt та модуля graph для ініціалізації графіки, оскільки програма виконана в графічному режимі. Далі задаються константи інтегрування.

Тип TMenuItems – масив пунктів меню. Далі задаємо підінтегральну функцію. Процедура InitGraphMode – процедура для ініціалізації графіки, VGA - тип графічного драйверу, VGAHi – тип графічного режиму.

· DrawCursor(x,y:integer) – процедура для малювання курсору;

· HideCursor(x,y:integer) – процедура, що автоматично забирає курсор з екрану;

· Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char – функція, що очікує нажатої клавіші, цикл повторюється до тих пір, доки не буде зчитано код нажатої клавіші;

· Procedure menu(x,y:integer;…var poin:integer) – дана процедура власне виводить на екран графічне меню та надає змогу користувачеві здійснити вибір пункту меню за допомогою графічного курсору.

3. Функціональне призначення програми

Програма призначена для обчислення визначеного інтегралу I=

, методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків, також дає змогу зменшити похибку обчислень за рахунок зменшення кроку інтегрування.

Програма має гарний інтерфейс користувача з меню, що керується з клавіатури. Результати обчислень виводяться на екран монітора.

Дана програма пристосована для вирішення тільки одного інтегралу, а тому є вузько спеціалізованою, проте можлива зміна підінтегральної функції шляхом корегування програмного коду.

Комп'ютер може швидко опрацьовувати дані і виводити результати на екран.

4. Вхідні та вихідні дані

Вхідні дані:

1. Інтеграл: I=

;

2. Крок обчислень 0.1,0.2,0.5;

3. Порядок інтегрування: третього , четвертого та п’ятого порядку.

Вихідні дані:

1. Значення інтегралу, що знаходить программа.

2. Загальна похибка по заданим методам.

3. Порівняння результатів з точним значенням.

5. Результати розрахунків

Результатами обчислень є знаходження значення визначеного інтеграла I=

, , зазначеними методами, з кроком: h=0.1, h=0.2, h=0.5.

При розрахунку інтегралу 3-го порядку програма виведе на екран слідуючі результати:

Інтеграл Чебишева 3-го порядку: 2.649061117170

Загальна похибка: 0.0316342854