Дослідження методів чисельного інтегрування (стр. 1 из 3)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут автоматики, електроніки та комп’ютерних

систем управління

Факультет АКСУ

Кафедра АІВТ

Курсова робота

з дисципліни

«Обчислювальні методи та застосування ЕОМ»

Дослідження методів чисельного інтегрування

2006

Анотація

В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та п’ятого порядків.

Програма дозволяє отримати розв’язання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

1. Теоретичні відомості

У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, пов'язаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:

Загальний підхід до розв’язування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I =

Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші

1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).

2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].

1.1 Метод прямокутників

Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=

x_i=x_i+1-x_i), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:

I_n=

f(x)dx» S_i=h[f(x₀)+f(x₁)+...+f(x_n-1)]= f(x_i);(1.1)

якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:

I_пр=

f(x)dx»h[f(x_n)+...+f(x₁)]= f(x_i)(1.2)

1.2 Метод трапецій

Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією j(x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.

Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ S_i прямокутних трапецій N.

Площа кожної такої трапеції визначається як:

S_i=h

(f(x_i)+f(x_i+1)).(1.3)

Отже, формула трапеції:

I=

» S_i=h( f(x₀)+f(x₁)+f(x₂)+...+f(x_n-1)+ f(x_N)= = [ (f(x₀)+f(x_n))+ f(x_i) ]. (1.4)

Графічна модель

Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як

(1.5)

Де М₂ –максимальне значення другої похідної. f(x) при

,h-крок обчислень.

1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)

Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою j(x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I=

f(x)dx» Si [1].

Графічна модель.

Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:

Si=

[f(xi)+4f( xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто

(y₀+4y₁+y₂),

(y₂+4y₃+y₄),

(y₄+4y₅+y₆), (1.7)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(y_2n-2+4y_2n-1+y_2n),

Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто

[y₀+y_2n+4(y₁+...+y_2n-1)+2(y₂+...+y_2n-2)],

або

[y₀+y_2n+4 y_2i-1+2 y_2i],(1.8)

де h =(b-a)/2N.

Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як

де М₄ –максимальне значення четвертої похідної. f(x) при

, h-крок обчислень.

1.4 Метод Ньютона-Котеса

Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.

Основна формула методу:

y_iH_i,(1.9)

де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона - Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .

Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.

1.5 Метод Чебишева

Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:

c_if(x_i)_,(1.10)

в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.

Таблиця 1.1.

Коефіцієнти Ньютона - Котеса

n = 1	Но = H1 = ½
n = 2	Но = Н2 = 1/6, Н1 = 2/3
n = 3	Н0 = Н3 = 1/8, Н1 = H2 = 3/8
n = 4	Но = Н4 = 7/90, Н1 = Нз = 16/45, Н2 = 2/15
n = 5	Н0 = Н5 =19/288, Н1 = Н4 = 25/96, Н2 = Нз = = 25/144
n = 6	Но = Н6 = 41/840, Н1 = Н5 = 9/35, Н2 = Н4 = =9/280, Нз = 34/105
n = 7	Но = Н7 = 75І/17280, Н1 = Н6 = 3577/1728О, Н2 = Н5 =1323/1728О, Нз = Н4 = 2989/17280

Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду: