Предмет: Теория Автоматического Управления
Тема:
ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Статистический синтез заключается в отыскании и реализации оптимальных в определенном смысле свойств (структуры и параметров) системы по заданным статистическим характеристикам входных воздействий.
Существуют различные методы статистической оптимизации. Рассмотрим задачу, сформулированную Винером-Колмогоровым.
Постановка задачи Винера–Колмогорова.
Рис. 1
Определить: оптимальную передаточную функцию - K0 (p).
Передаточная функция K0 (p) должна быть устойчивой и физически реализуемой. Если полезный сигнал - x (t) и помеха - z (t) представляют собой Гауссовские случайные процессы, то решение может быть найдено в классе линейных стационарных систем, в противном случае решение находится в классе нелинейных систем.
В зависимости от оператора Ки (р) рассматриваются следующие задачи:
Ки (р) = 1 - воспроизведения;
Ки (р) = 1/р - статистического интегрирования;
Ки (р) = р - статистического дифференцирования;
Ки (р) = - статистического упреждения, экстраполяции, прогнозирования.
Таким образом, задача Винера-Колмогорова решается при следующих предположениях:
Сигнал и помеха представляют собой Гауссовские процессы.
Искомая система должна принадлежать к классу линейных систем.
Критерий оптимальности - минимум средней квадратичной ошибки.
Решение: Определим выражение для средней квадратичной ошибки
Средняя квадратичная ошибка равна
Мы получили некоторый функционал, в котором неизвестно к (t). Необходимо найти такое к (t), при котором ошибка будет минимальной.
Это задача минимизации функционала: она решается с использованием вариационного анализа.
Пусть
;где:
- оптимальная функция веса; - приращение.Подставим это в исходное уравнение для ошибки и получим:
;где А - функция, которая не зависит от а; В - функция, которая зависит от а; С - функция, которая зависит от а2.
Найдем экстремум по параметру а
к (t) -оптимально если а = 0 т.е. В = 0.
Откуда можно получить следующее выражение
(1)Это интегральное уравнение Винера-Хопфа, оптимальная передаточная функция должна удовлетворять этому уравнению.
Решение уравнение Винера-Хопфа.
Строгое решение этого уравнения сложно, решим это уравнение простым путем предложенным Шенноном. Уравнению Винера-Хопфа в частотной области соответствует следующее выражение:
(2)Откуда
(3)Но это уравнение физически нереализуемо так как к0 (t) = 0 при t < 0 т.е. K0 (jw) содержит физически реализуемую и нереализуемую часть.
Для выделения физически реализуемой части воспользуемся свойством формирующего фильтра.
Используя операцию факторизации суммарную спектральную плотность сигнала и помехи можно представить в виде:
(4)Используя операцию расщепления, представим выражение для частотной характеристики оптимальной системы в виде реализуемой и нереализуемой части
(5)где [] + - реализуемая часть; [] - нереализуемая часть.
Определим
Отбросив нереализуемую часть, можно записать следующее выражение для частотной характеристики оптимальной системы с учетом физической реализуемости:
(6)Это формула Винера-Колмогорова.
Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации с воспроизведением. Определить оптимальную передаточную функцию - K0 (p) устойчивой и физически реализуемой системы рис.2).
Дано: Полезный сигнал - X (t) и помеха - Z (t), представляющие собой Гауссовские случайные процессы.
Kи (p) = 1;