Динамическое программирование и вариационное исчисление (стр. 3 из 3)

Т.е. получим δJ=

≡ 0.

По основной лемме вариационного исчисления: если есть функции r(t) и g(t), при t

[t0,tf], причём

g(t0)=g(tf)=0 и =

≡ 0 , то r(t) ≡ 0 для любых t [t0,tf].

Значит для

δJ=

≡ 0 получим, что ≡0, i=1,n.

Полученное уравнение называется уравнением Эйлера (оно выражает 1-е необходимое условие экстремума функционала).

2.3. Трудности, связанные с решением вариационной задачи

При отыскании оптимального управления вариационными методами приходится сталкиваться с трудностями, ряд которых носит принципиальный характер:

1. Вариационные методы дают возможность находить только относительные максимумы и минимумы функционала J(u), тогда как интерес представляет нахождение абсолютного максимума или минимума.

2. Уравнения Эйлера для многих технических задач оказываются нелинейными, что часто не дает возможности получить решение вариационной задачи в явном виде.

3. На значения управляющих сигналов обычно бывают наложены ограничения, делающие невозможным поиск оптимального управления вариационными методами.

Поскольку последнее обстоятельство имело решающее значение для развития новых идей в области оптимального управления, остановимся на нем более подробно.

Обычными ограничениями, накладываемыми на сигналы управления, являются ограничения вида |ui(t)|≤ Mi.

Означающие необходимость ограничения по величине сигналов, подводимых к органам управления. Так, ограниченными являются предельное напряжение, подводимое к якорю электродвигателя, предельный угол поворота руля самолета, предельная температура в камере эрания реактивного двигателя и т.п. При этом получение оптимальных процессов требует, как правило, поддержания сигналов управления на предельных значениях, что соответствует наиболее быстрому и эффективному протеканию процессов в объекте управления. Типичный для этих случаев характер изменения управления u(t) при оптимальном процессе приведен на рис.1.

Рис.1. Характерный вид оптимального управляющего сигнала

Однако предельные значения управления u(t) лежат на границах области допустимых управлений U и, следовательно, не являются внутренними точками этой области, для которых только и применимы вариационные

Один из подходов к вычислению оптимальных процессов получил название динамического программирования. Метод динамического программировании дает в руки инженера эффективную вычислительную процедуру решения задачи оптимизации управления, хорошо приспособленную к использованию ЭВМ. Этот метод мы рассмотрим более подробно.

2.4. Метод динамического программирования

2.4.1. Дискретная форма вариационной задачи

Преодоление рассмотренных трудностей решения вариационной задачи лежит на путях использования эффективных вычислительных методов, одним из которых является метод динамического программирования. Этот метод дает возможность находить оптимальное управление в многошаговых задачах. Однако он может применяться и для решения вариационных задач, если их представить в дискретной форме.

Воспользовавшись теоремой, сформулируем вариационную задачу в следующем виде: для объекта, описываемого дифференциальным уравнением, x(t)=g(x,u), x(0)=c, найти управление u(t) из области допустимых управления U, которое минимизирует функционал

J(u)=

, где Q(x,u)=Q1(x,u)+λH(x,u).

Дискретную форму записи этой задачи получим, если выбор управления u(t) будем производить только в дискретные моменты t=kδ, k=0,n-1, где δ=Т/n, При этом вместо функции x(t) и u(t) будем рассматривать последовательности

xk=x(t)|t=kδ, uk=u(t)|t=kδ.

Заменяя производную x=dx/dt на отношение приращений (xk+1-xk)/δ, вместо дифференциального уравнения получаем уравнение в конечных разностях:

g(xk,uk)

Обычно это уравнение записывают в более удобной форме, разрешая его относительно хk+1: xk+1=xk+ g(xk,uk) δ, k=0,n-1, x0=c.

При этом интеграл

J(u)=

заменится суммой

Jn(u)=

,

где под u понимается последовательность используемых управлений u=(u0,…,un-1)

Теперь задача заключается в выборе таких управлений ui, которые обеспечивают минимальное значение суммы.

Во многих задачах управления оказывается целесообразным считать δ=1. В частности, это удобно делать в тех случаях, когда процесс естественным образом разбивается на отдельные шаги, причем в пределах каждого шага управление u(t) остается неизменным. При этом мы приходим к многошаговому процессу управления, рассмотренному ранее, в котором xk и uk означают состояние объекта и применяемое управление в начале каждого шага.

2.4.2.Рекуррентное соотношение метода динамического программирования

Оптимизация управления n-шагового процесса состоит в том, чтобы найти такую последовательность управлений ui, при которой критерий качества Jn(u) принимает минимальное значение. Это минимальное значение критерия качества управления n-шагового процесса будет зависеть только от начального состояния x0 и его можно обозначать fn(x0). По определению имеем:

fn(x0)=minmin … min [Q(x0,u0)+ Q(x1,u1)+…+ Q(xn-1,un-1)].

Заметим, что первое слагаемое этого выражения Q(x0,u0) зависит только от управления u0, тогда как остальные слагаемые зависят как от u0, так и от управлений на других шагах. Так, Q(x1,u1) зависит от u1, но оно зависит и от u0, так как x1 =T(x0,u0). Аналогично обстоит дело и с остальными слагаемыми. Поэтому выражение можно записать в виде

fn(x0)=min {Q(x0,u0)+ min … min [Q(x1,u1)+…+ Q(xn-1,un-1)]}.

Заметим далее, что выражение min … min [Q(x1,u1)+…+ Q(xn-1,un-1)] представляет собой минимальное значение критерия качествa управления (n-1)-шагового процесса, имеющего начальное состояние х1. В соответствии с определением эту величину можем обозначить через fn-1(x1). Таким образом, получаем: fn(x0)=min {Q(x0,u0)+ fn-1(x1)}.

Эти рассуждения можно повторить, если рассмотреть (n-1)-шаговый процесс, начинающийся с начального состояния x1. Минимальное значение критерия качества управления для этого случая fn-1(x1)=min {Q(x1,u1)+ fn-2(x2)}.

Продолжая эти рассуждения, получаем аналогичное выражение для (n -k) -шагового процесса, начинающегося с состояния xk:

fn-k(xk)=min {Q(xk,uk)+ fn-(k+1)(xk+1)}.

Последнее уравнение, называемое часто уравнением Беллмана, представляет собой рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно определять оптимальное управление на каждом шаге управляемого процесса.

Сама идея оптимизации управления на каждом шаге отдельно, если трудно оптимизировать сразу весь процесс в целом, не является оригинальной и широко используется на практике. Однако при этом часто не принимают во внимание, что оптимизация каждого шага еще не означает оптимизацию всего процесса в целом.

Особенностью метода динамического программирования является то, что оно совмещает простоту решения задачи оптимизации управления на отдельном шаге с дальновидностью, заключающейся в учете самых отдаленных последствий этого шага.

В методе динамического программирования выбор управления на отдельном шаге производится не с точки зрения интересов данного шага, выражающихся в минимизации потерь на данном шаге, т.е. величины Q(xk,uk), а с точки зрения интересов всего процесса в целом, выражающихся в минимизации суммарных потерь Q(xk,uk)+ fn-(k+1)(xk+1) на всех последующих шагах. Отсюда следует основное свойство оптимального процесса, заключающееся в том, что каковы бы ни были начальное состояние и начальное управление, последующие управления должны быть оптимальными относительно состояния, являющегося результатом применения первого управления.

Из основного свойства оптимального управления следует, что оптимизация управления для произвольной стадии многошагового процесса заключается в выборе только последующих управлений. Поэтому бывает удобно учитывать не те шаги, которые уже были пройдены, а те, которые осталось проделать, для того чтобы привести процесс в конечное состояние.

2.5. Вариационная задача условной минимизации для условий в виде равенств

Рассматриваемая задача состоит в определении управляющих воздействий u(t) минимизирующих (или максимизирующих) показатель качества J.

Объект управления описывается уравнениями: x=q(x,u,t),

y=g(x,t).

Составляющие q, g предполагаются непрерывными по х и u и непрерывно дифференцируемыми по х. Объект управления предполагается управляемым и наблюдаемым, т.е. все переменные состояния доступны измерению и возбуждается любое из состояний управляемого объекта.

Если переменные функции не являются независимыми, а подчинены ограничениям типа равенств, т. е. f(x)=0, то необходимые условия экстремума определяются методом множителей Лагранжа.

Пусть целевая функция имеет вид:

J=

-min, при условиях x(t0)=x0 , x(tf)=xf , t [t0,tf], x(t) Rn,

при ограничениях fi(x(t),x(t),t)=0, i=1,m.

Задача решается методом множителей Лагранжа:

запишем лагранжиан

J=

+ λi(t)fi(x(t),x(t),t)] dt-min по x(t), λ(t).

Запишем более в компактном виде:

J=

= -min по z(t), где z(t)= .

Первым необходимым условием экстремума функционала J является δJ=0.

Производя рассуждения аналогичные вышеизложенным получаем уравнение:

=0, i=1,n+m.

Это уравнение называется уравнением Эйлера-Лагранжа.