Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (стр. 2 из 5)

Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n функций xi=xi(t,c1,…,cn), i=1,2,…,n. Будем говорить, что функция f(t,x1,…,xn) удовлетворяет условию Липшица в области G по переменным x1,…,xn, если существует такое постоянное число L>0, что для любой пары точек (t,x1,…,xn) и (t, xs1,…,xsn), принадлежащих G, выполняется неравенство

Пусть в системе (1) функции fi(t, x) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по x1,…,xn в некоторой области G. Тогда существует и притом единственное решение xi=xi(t), I=1,2,…n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi(t0)=xi0, определенное на отрезке K, содержащем точку t0.

Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K, содержащем точку t0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G.

Если функция f(t, x1, ..., хn) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G, то эта функция удовлетворяет условию Липшица.

2.5. Ломаная Эйлера и e-приближенное решение

Рассмотрим систему уравнений

(2)

причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Совокупность n функций z1(t), ..., zn(t) называется e-приближенным решением системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную

и

во всех точках tÎK, кроме точек разрыва непрерывности этой производной.

Пусть задана начальная точка (t0, x10, …, хn0) и пусть функции fi(t, xi,...,хn) непрерывны по t в области Gи удовлетворяют в этой области условию Липшица по переменным t, x1, х2, ..., хn. Можно показать, что в этом случае функции fi(t, x1,..., хn) будут непрерывны по совокупности переменных t, x1,..., хn в области G. Из непрерывности функций fi (t, x1,..., хn) в замкнутой области G следует их равномерная непрерывность. Таким образом, для любого e>0 найдется такое d>0, зависящее только от e, что при

будет справедливо неравенство

Построим e-приближенное решение системы (2). Для этого разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими d (для случая n=1 построение проведено на рис. 2, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки (t, xlo, ..., хn0) проведем прямую

Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба. Обозначим точку пересечения (t1, x11,..., xn1). Из этой точки проведем прямую

которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересечения (t2, x12,..., xn2), через эту точку проводим новую прямую

и так далее.

В результате указанных действий получим ломаную xi=xi(t) (i=l, 2, ..., n), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы области G.

Пусть xi(t) (i=l, 2, ..., n) — точное решение системы (2), удовлетворяющее начальным условиям. Обозначим через si(t) (i=1, 2, ..., n) e-приближенное решение системы (1) для тех же начальных условий. Тогда

Отсюда следует, что если |t–t0|<h, то

Таким образом, при e®0 решение xi(t) (i=1, 2, ..., n) равномерно сходится к решению si(t) (i=l, 2, ..., n) и ломаная Эйлера, исходящая из точки (t0, xi(t0)), равномерно сходится к точному решению. Это неравенство дает оценку погрешности при замене точного решения e-приближенным.

Полученные неравенства мы используем для выяснения важной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров уравнений.

2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров

Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений (2), причем функции fi(t, xl ,..., хn) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по х1, ..., хn в некоторой области G.

Пусть далее x=x(t, t0, x0) — решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям. Положим, что это решение определено на отрезке |t-t0|≤h. Тогда для любого e>0 существует такое d(e, h)>0, что другое решение x=s(t, t0, z0), удовлетворяющее начальным условиям

где ||x0–z0||<d, будет определено на том же отрезке |t-t0|≤h и удовлетворяет неравенству

Рассмотрим теперь непрерывную зависимость решения системы дифференциальных уравнений от параметров. Пусть имеется система уравнений

Здесь (μ1,…, μs)=μ – вещественные параметры, а функции fi(t, x, μ) определены и непрерывны по совокупности переменных t, x1, …, xn, μ1, …, μs в некоторой области G n+s+1-мерного пространства и удовлетворяют условию Липшица по переменным x1, …, xn с постоянной L. Пусть далее x=x(t, μ’) – решение этой системы при значении параметров μ=μ’, удовлетворяющее начальным условиям x(t0, μ’)=x0 и определенное на отрезке.

Тогда справедлива теорема:

Пусть x(t, μ’’) — решение данной системы при значении параметров μ=μ’’, удовлетворяющее начальным условиям x(t0, μ’’)=x0. Тогда для любого e>0 существует такое d(e, h)>0, что если справедливо неравенство |μ’–μ’’|<d, то решение x(t, μ’’) определено на интервале |t—t0|≤h и удовлетворяет неравенству

|| x(t, μ’)–x(t, μ’’) ||<e.

Доказанные теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров имеют принципиальное значение. Параметры дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования (САР) задаются с некоторыми погрешностями. На основании доказанных выше теорем можно утверждать, что если погрешность в определении параметров дифференциальных уравнений САР незначительна, то решения этих уравнений с достаточной достоверностью описывают происходящие в САР процессы.

2.7. Линейные дифференциальные уравнения

2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений

Линейной системой дифференциальных уравнений называется такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их производные могут входить только в первой степени.

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид

Введем в рассмотрение векторные функции

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Теорема существования и единственности справедлива для линейной системы на любом отрезке [а1 ,b1]Ì(а, b), где (a, b) - интервал, на котором функции aik(t) и fi(t) непрерывны.

2.7.2. Общее решение линейной однородной системы

Система (1) называется однородной, если fi(t)º0 (i=1, 2, …, n). Однородная система в векторной форме запишется в виде

(3)

Совокупность S всех решений {x(t)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Любой элемент этого пространства представим в виде

(4)

причем постоянные c1, c2, …, cn определяются однозначно. Отсюда следует, что любое решение данной системы может быть представлено в виде (4). Поэтому выражение (4) называется общим решением системы (3). Любая система из n линейно-независимых решений системы (3), образующая базис пространства S, называется фундаментальной системой решений.

2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля

Пусть имеется некоторая система из n векторных функций

Тогда определителем Вронского, или вронскианом, называется определитель, составленный из компонент этих векторных функций. Таким образом, определитель Вронского имеет вид

Если система векторных функций x1(t), ..., хn(t) линейно-зависима, то определитель Вронского W(t)=0.

Пусть вектор-функции x1(t), ..., xn(t) представляют собой n решений системы (3). Тогда, если определитель Вронского W(t) для этих решений обращается в ноль в какой-нибудь точке t0Î[а, b], то W(t) тождественно равен нулю на всем отрезке [а, b].

Пример: рассмотрим вектор-функции

Определитель Вронского для этих функций

При t = 0 W(0) = 0, но W(t) не равен тождественно 0. Отсюда следует, что данные вектор-функции х1(t) и x2(t) не могут быть решениями системы уравнений вида (3) с непрерывными коэффициентами, определенными на интервале, содержащем точку t=0.