Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (стр. 3 из 5)
Значение определителя Вронского в произвольной точке t можно вычислить с помощью рассмотренной ниже зависимости, называемой формулой Лиувилля.
Пусть x1(t), x2(t), ..., xn(t) — n решений системы (3). Тогда между значениями определителя Вронского W(t) в точках t0 и t существует следующая зависимость:
– след матрицы A(t).
2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим линейную неоднородную систему (2)
Соответствующая ей однородная система (3)
Пусть x=y(t) и j(t) – два решения системы (2). Тогда разность
x(t)= y(t)–j(t)
Представляет собой решение однородной системы (3).
Общее решение системы (2) имеет вид
где ci – произвольные постоянные; xi(t) (i=1, 2, …, n) – фундаментальная система решений системы (3).
Частное решение системы (2) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод. Пусть x1(t), x2(t), …, xn(t)— фундаментальная система решений системы (3). Частное решение неоднородной системы (2) будем искать в виде
полагая, что ci являются не постоянными, а некоторыми функциями t. Подставим это решение в систему (2):
Так как вектор-функции xi(t) – являются решениями однородной системы (3), то
поэтому
Это выражение представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно сi(t) (i=l, 2, ,..., n). Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского для фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение сi’(t)=Фi(t) (i=l, 2,..., n).
Интегрируем полученные равенства:
Следовательно, искомое частное решение имеет вид
Значит, общее решение неоднородной системы будет
При помощи формулы Коши можно выразить решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений через некоторую фундаментальную систему решений соответствующей однородной линейной системы.
Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциальных уравнений (2), записанную в векторном виде
Соответствующая ей однородная система (3)
Пусть x1, x2, …, xn – фундаментальная система решения системы уравнений (3). Образуем матрицу X1(t), столбцы которой являются этими решениями:
Определитель матрицы Х1(t) представляет собой определитель Вронского. Он отличен от нуля для всех tÎ[a, b]. Следовательно, существует обратная матрица X-11(t) при каждом tÎ[а, b]. Составим матрицу
X(t, t0) = X1(t)X1-1(t0)
Столбцы этой матрицы также образуют фундаментальную систему решений системы уравнений (3). Отметим, что X(t, t0)=
Назовем матрицу X(t, t0) фундаментальной матрицей системы (3). Эта матрица удовлетворяет матричному уравнению 
Решение x(t) системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, можно записать в виде
Тогда можно показать, что следующая формула, называемая формулой Коши, позволяет найти решение x(t) неоднородной системы (2), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, если известна фундаментальная матрица X(t, t0) однородной системы (3):
Следует отметить, что если матрица А постоянная, т. е. рассматриваемая система дифференциальных уравнений является системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами
то решение этой системы x(t), удовлетворяющее начальным условиям x(t0)=x0, запишется в виде
где X (f) — матрица, столбцы которой состоят из фундаментальной системы решений однородной системы уравнений xt'=Ах, причем X (t0) = E.
2.7.6. Линейное уравнение n-го порядка
Линейное уравнение n-го порядка имеет вид
где a0(t), …, an(t) — непрерывные функции для tÎ(a, b), причем а0(t)¹0. Соответствующее этому уравнению однородное уравнение имеет вид
Эти уравнения путем введения вспомогательных функций
можно свести соответственно к системам уравнений
или в векторной форме,
Пусть начальные условия этой системы имеют вид
Эта система имеет единственное решение
Для нахождения частного решения ф(t) данного уравнения можно использовать метод вариации произвольных постоянных. При этом система алгебраических уравнений для нахождения сi'(t) имеет следующий вид:
Определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимой системы решений x1 ,…, xn, поэтому W(t)¹0, и данная система имеет единственное решение. Интегрируя полученные значения для c'i(t), найдем ci(t) и тогда искомое решение
Решение x(t) исходного уравнения, удовлетворяющее заданным условиям, найдется по формуле Коши
где
где ci(t) определяются из системы уравнений
Определитель этой системы представляет собой определитель Вронского фундаментальной системы решений x1, …, xn и поэтому не равен нулю. Эта система имеет единственное решение c1(t), …, cn(t). Следовательно, решение x1(t, t) определяется единственным образом.
2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
(5)Его решение будем искать в виде y=ekx. Тогда y’=kekx, y’’=k2ekx, …, y(n)=knekx. Подставим это в исходное дифференциальное уравнение и получим так называемое характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (5):
knekx+…+a2k2ekx+a1kekx+a0ekx=0
или, разделив это уравнение на ekx, так как он ни при каких x не равен нулю, получаем:
kn+…+a2k2+a1k+a0=0
Решив это уравнение относительно k, мы получим n корней, которые могут быть как действительными, так и мнимыми. В зависимости от вида корней характеристического уравнения мы будем иметь различные виды решения дифференциального уравнения:
1. Некоторые ki, …, kj из всего множества корней характеристического уравнения – действительные и различные числа. Тогда каждому km из этого множества будет соответствовать решение в виде: ym=cmekmx.
2. Некоторые ki,…, k2j – комплексные и различные. Тогда каждой паре km;m+1=am±bmi будет соответствовать решение ym=cmeamxcos(bmx); ym+1=eamxsin(bmx).
3. Среди решений характеристического уравнения есть корень ki кратности m. Ему будут соответствовать решения: yi=ciekix, yi+1=xci+1ekix, …, yi+m=xm-1ci+mekix.
4. Среди решений характеристического уравнения есть 2 комплексных корня ki;i+1=ai±bii кратности m. Им будут соответствовать решения yi=cieaixcos(bix); yi+1=ci+1eaixsin(bix); yi+2=xci+2eaixcos(bix) ; yi+3=xci+3eaixsin(bix) ; … ; yi+m=x2m-1cieaixcos(bix); yi+m=x2m-1 ´
´ci+1eaixsin(bix).
Однако, как было сказано выше, совокупность всех решений {y(x)} образует линейное пространство размерности n, так как решения этой системы являются линейно-независимыми и образуют базис. Это значит, что линейная комбинация решений линейного дифференциального уравнения также будет являться решением. Следовательно, общее решение данного линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка (5) с постоянными коэффициентами можно представить как линейную комбинацию решений, соответствующих каждому корню (или паре корней) характеристического уравнения.