Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем (стр. 5 из 5)
3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений
В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x(t0) и вектора входа m(t0, t), то есть
где F – однозначная функция своих аргументов. Вектор выхода в момент t является также функциейx(t0) и m(t0; t) и может быть записан как
y(t)=z[x(t0); m(t0; t)].
Эти два уравнения часто называют уравнениями состояния системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, эти уравнения могут быть записаны в следующей общей форме:
x(t)=F[x(t); m(t)],
y(t)=z[x(t); m(t)].
Такое описание системы носит название «вход–состояние–выход».
Если система описывается линейными дифференциальными уравнениями, то уравнения состояния системы сводятся к следующим:
dx(t)/dt=A(t)x(t)+D(t)m(t);
y(t)=B(t)x(t)+G(t)m(t),
где A(t) – матрица коэффициентов; D(t) – матрица управления; B(t) – матрица выхода; G(t) – матрица обхода системы.
Решение этой системы будем искать в форме
x(t)=p(t–t0)C1(t), (7)
где p(t–t0)=expA(t–t0) – матрица перехода процесса, а С1(t) – вектор, зависящий от времени, заменяющий вектор начального состояния x0 в уравнении движения при отсутствии внешних воздействий. Дифференцируя это выражение по t, получаем
dx(t)/dt=Ax(t)+p(t–t0)dC1(t)/dt.
Если формула (7) является решением однородного уравнения, то величины в правых частях однородного уравнения и полученной формулы должны быть одинаковы. Отсюда
Dm(t)=p(t–t0)dC1(t)/dt.
Решая это уравнение относительно С1(t), получаем
Учитывая это выражение и определение матрицы перехода уравнение (7) приведем к виду
При t=t0, p(t–t0)=I и С2=x(t0). Отсюда находим
3.4. Описание систем переменными состояния
Линейная стационарная система может быть описана совокупностью линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, которую можно представить в следующей векторно-матричной форме:
dv(t)/dt=Av(t),
где A– матрица коэффициентов; v(t) – вектор-столбец, представляющий собой входные переменные mi и координаты xk системы
Если входные переменные рассматривать совместно с переменными состояния системы, то есть включить их в число координат системы, то вектор v можно считать вектором состояния системы увеличенной размерности.
3.5. Понятие наблюдаемости системы
Перепишем еще раз выражение для вектора выхода линейного многомерного процесса:
y(t)=Bx(t)+Gm(t), (8)
где y – p-мерный вектор, представляющий выходные переменные; B – матрица выхода размером pxn; G – матрица обхода системы размера pxr.
Пусть матрица Bимеет вид
а матрица обхода G задана в виде
Тогда, развертывая формулу (8), получаем p выражений
(9)Координату состояния принято называть наблюдаемой, если она может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным. Анализ уравнений (9) показывает, что координата xk может быть определена или для нее может быть получена оценка по измеримым выходным переменным y1, y2, …, yi, …, yp, если коэффициенты bik для i=1, 2, …, p не все равны нулю. Другими словами, xk является наблюдаемой координатой, если элементы k-го столбца матрицы выхода не все равны нулю. Если это условие не соблюдается, то координату xk называют ненаблюдаемой. Таким образом, линейный процесс является наблюдаемым, если матрица выхода B не содержит столбцов, элементы которых равны нулю.
3.6. Понятие управляемости системы
Пусть линейный многомерный процесс описывается векторным дифференциальным уравнением
dx(t)/dt=Ax(t)+Dm(t), (10)
где x – n-мерный вектор состояния; m – r-мерный вектор, представляющий управляющие воздействия; A – квадратная матрица коэффициентов n-го порядка; D – матрица управления размера nxr.
Матрица Aможет быть приведена к диагональной матрице (или в общем случае к жордановой форме)
где lш – собственные значения матрицы A, которые предполагаются все различными.
Применяя подстановку x=Tz, исходное уравнение запишется в канонической форме
dz(t)/dt=Lz(t)+Dm(t),
где D=T-1D=[dij]nxr.
Вектор z в полученной формуле будем называть каноническим вектором состояния. Будем считать, что в предыдущих матричных выражениях собственные значения li расположены в порядке возрастания их модулей, комплексные li – в порядке возрастания их аргументов, векторы-столбцы матрицы T – нормализованы, то есть выбраны так, что евклидова длина их равна единице.
Запишем полученное выражение в развернутой форме, то есть в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
Эти уравнения показывают, что управляющее воздействие mk не будет оказывать какого-нибудь влияния на движение по координате zj, если
то есть когда djk=0 для k=1, 2, …, r. Запись в такой форме означает, что все элементы j-й строки матрицы Dвсе равны нулю. Отсюда следует вывод, что неуправляемыми координатами системы являются все те канонические координаты, которые соответствуют нулевым строкам матрицы D. Равенство нулю всех элементов этих строк матрицы D делает невозможным управление по соответствующим координатам. Это означает также, что изменение координат происходит независимо от управляющих воздействий и, следовательно, целиком определяется начальными условиями и возмущениями. Можно сказать, что эти координаты развязаны от управления.
Приведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение управляемости: процесс, описываемый уравнением (10), является полностью управляемым, если матрица D не содержит строк, элементы которых равны нулю; координаты, соответствующие ненулевым строкам D, считаются управляемыми.
3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального уравнения
Непрерывную систему часто описывают дифференциальным уравнением относительно ее выхода y(t) и входа r(t):
или, вводя оператор дифференцирования p=d/dt,
Здесь мы ввели функцию F(t)=B(p)v(t), потому что, как правило, входное воздействие на систему известно. Такая система называется системой «вход–выход».
Многочлен A(p) называется собственным оператором системы, а M(p) – входным оператором.
Введем понятие передаточной функции системы. Отношение входного оператора М(р) к собственному оператору D(р) назовем передаточной функцией W(р) системы, описываемого линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
Решение этой системы совершенно аналогично решению линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению
Введем оператор дифференцирования Lij=anijpn+a(n-1)ijpn-1+…+a1ijp1+a0ij. Тогда любую систему дифференциальных уравнений (в том числе и систему уравнений, описывающих систему «вход–состояние–выход») можно представить в виде
Так как операторы Lij зависят только от p, то решение можно получить, используя формулы Крамера:
где D(p) – дифференциальный оператор, определяемый определителем:
– оператор, определяемый ki-ым алгебраическим дополнением.3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений
Пусть дана линейная система с постоянными параметрами, одним входом и выходом:
где p=d/dt. Непосредственно из схемы моделирования следует
(11)Дифференцируя y, получим
Последующая подстановка px1 из полученных уравнений дает
Согласно приводимой процедуре вторая и старшие производные y равны
Подставив полученные выражения для y, py, …, pn-1y и выражения (11) в исходное уравнение и сопоставляя с выражением для pny, получим выражения для ai и bi:
bi , по-видимому, можно также записать в виде
Значит, bi можно определить, умножив обе части этого выражения на обратную матрицу коэффициентов. Согласно полученным выражениям, одна из форм матриц A, B, C, D для системы вида «вход–состояние–выход» имеет вид
Приведенные уравнения состояния соответствуют так называемому стандартному виду системы.
1. Чемоданов Б К. Математические основы теории систем.
2. Ю. Ту. Современная теория управления.