Блочно-симметричные модели и методы проектирования систем обработки данных (стр. 10 из 22)

Прикладные задачи этих классов в свою очередь могут иметь различные математические постановки и методы их реализации. Поэтому развитие дискретного программирования осуществляется по следующей схеме: постановка прикладной задачи, разработка математической модели дискретного программирования, разработка метода (алгоритма) решения задачи.

Обычно эффективное решение задачи тесно связанно с математической моделью задачи, со структурой модели и ее особенностями.

Рассмотрим некоторые математические модели дискретного программирования и методы их решения.

Модели задач ДП. Классическим примером моделей этого класса являются модели целочисленного линейного программирования, в которых переменными являются неделимые величины. Модели этого класса в свою очередь генерировали различные варианты постановки прикладных задач и определены как модели с неделимостями.

В процессе развития теории дискретного программирования выделился класс комбинаторных моделей. [83]

В этих моделях необходимо определить экстремум целочисленной функции, заданной на конечном множестве элементов, либо элементы этого конечного множества, доставляющих экстремум целевой функции.

Одним из типичных примеров комбинаторной модели является задача о коммивояжере. [84]

В данной задаче имеется кратчайший замкнутый путь, проходящий по одному разу через все города, при условии, что имеется n городов и задана матрица расстояний между ними.

В комбинаторной постановке необходимо определить такую перестановку, которая минимизирует величину целевой функции.

Постановка различных комбинаторных задач может часто формулироваться в виде модели с булевыми переменными, которые принимают только два значения 0 или 1.

К булевым моделям сводятся большое число прикладных задач, что свидетельствует о перспективности моделей этого класса. [85]

В постановках ряда прикладных задач имеются некоторые особенности, касающихся целевой функции либо области ограничений. К примеру, необходимо определить, экстремум неординарной разрывной функции на выпуклом многограннике вида

где

Эти модели образуют класс моделей с неоднородной разрывной целевой функцией.

Модели нахождения экстремума на области, задаваемой не только линейными неравенствам (ограничениями) но и логическими условиями. Такие области оказываются невыпуклыми либо несвязными. Эти задачи образуют модели на не классических областях. [84]

Особый интерес исследователей вызывают многоэкстремальные модели, в которых необходимо определить оптимальные значения более одной целевой функции при наличии (либо отсутствии) систем ограничений. Как правило, модели этого класса сложны в вычислительном отношении. Вместе с тем, постановки целого ряда прикладных задач сводятся к моделям данного класса. Решение указанных задач является актуальным. [103, 105, 107]

Одной из первоначальных моделей, безусловно, является модель транспортной задачи с которой связаны многие исследования в области дискретного программирования. Эти исследования привели к моделям потоков в сетях и другим модификациям указанных задач.

Следует отметить, что разработка моделей тесно связана с методом ее реализации, и наоборот разработка новых методов, в свою очередь, приводит к появлению новых моделей для постановки прикладных задач.

Методы решения задач дискретного программирования (ДП). В задачах ДП методы их решения зачастую связаны с их математической постановкой и особенностями. Имеется большое число методов для решения этих задач. В этой связи целесообразно выделить следующие методы решения задач ДП: точные и приближенные. Среди точных методов наиболее распространены комбинаторные методы и методы отсечения.

Типичным примером комбинаторных методов является метод ветвей и границ [115]. Суть данного метода заключается в направленном переборе допустимых решений на основе вычисления оценок. Основное этапы подхода заключается в следующем:

1. Исходное множество решений

разбиваются не подмножества (процесс ветвления);

2. Для каждого из подмножеств

вычисляется значения оценок (нижние или верхние границы);

3. На основе выбранного значения оценок вычисляются допустимые решения;

4. Итерационный процесс ветвления по заданному правилу и вычисление оценок продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Идея метода отсечений заключается в следующем. Решается исходная задача. Если полученное решение удовлетворяет условию целочисленности, то задача решена. В противном случае к ограничениям исходной задачи добавляется новое линейное ограничение. Далее решается задача с дополнительно введенным ограничением. Итеративный процесс повторяется, до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение.

Примерами успешной реализации методов отсечения являются алгоритмы Гомори [83] .

Вместе с тем, следует отметить ограниченное использование точных методов для решения прикладных задач большой размерности. Несмотря на использование мощных вычислительных систем с большой памятью, совершенствование и развитие математического аппарата «проклятье дискретности» остается и на сегодняшний день.

Поэтому для эффективного решения прикладных задач и преодоления вычислительной сложности точных методов возникла необходимость разработки приближенных и эвристических методов, которые тесно связаны со структурой и особенностями постановки этих задач.

В отличие от точных методов, приближенные позволили решать задачи большой размерности и полученные решения удовлетворяют потребностям практики. При этом в ряде случаев появилась возможность оценить отклонение от оптимального решения либо определить ближайшие окрестности от оптимального решения.

Все это позволило использовать приближенные методы в качестве эффективного инструментария для решения практических задач.

В ряде случаев при проектировании систем обработки данных необходимо учитывать вектор критериев, которые могут противоречить друг другу. Такие постановки задач сводятся к многокритериальным задачам дискретного программирования.

Математическая постановка

– критериальной задачи предпологает, что задано множество допустимых решений , на котором определена векторная целевая функция (ВЦФ) [98,99].

,(1.2.4)

Причем критерии ВЦФ считаем минимизируемыми:

F_v(x)→min, v=1,2,…,N.(1.2.5)

Элемент

называется Парето-оптимальным, если не существует такого допустимого решения , что выполняются неравенства , v=1, 2,…, N, среди которых хотя бы одно является строгим.

Через

обозначаем паретовское множество (ПМ), состоящее из всех Парето-оптимальных элементов рассматриваемой задачи с ВЦФ (1) на множестве . Эта задача называется дискретной, если мощность множества ее допустимых решений конечна.

Первоначальная формулировка проблемы многокритериальной (векторной) оптимизации восходит к [98, 99] и состоит в нахождении одного или всех элементов ПМ

. Заметим, что в однокритериальном случае ( ) ПМ представляет собой множество всех оптимумов данной оптимизационной задачи. Для последней, однако, более естественной является проблема нахождения какого-либо («первого попавшегося») оптимума. Как обобщение этой проблемы для многокритериального случая в настоящей работе в качестве основной рассматриваем проблему нахождения полного множества альтернатив (ПМА). Подмножество назовем ПМА, если оно удовлетворяет двум условиям: его мощность минимально и выполняется , где , где

.

Множество

и будем называть множествами альтернатив (МА). В литературе наряду с МА изучается и другие подмножество паретовского множества.