Блочно-симметричные модели и методы проектирования систем обработки данных (стр. 13 из 22)

(2.1.8)

(2.1.9)

В постановке задачи (2.1.5) - (2.1.9) выделим блок функции (2.1.6), (2.1.7), зависящий только от переменной

, и блок функций (2.1.8), (2.1.9), зависящий только от переменной , объединенных единым функционалом вида (2.1.5). Заметим, что в ряде постановок задач может быть блок ограничений вида

(2.1.10)

зависящий от переменных

и .

В этом случае можно выделить блок функционала цели вида (2.1.5), (2.1.10).

Отсюда следует.

Определение 2.1. Блочно-симметричной задачей дискретного программирования назовем задачу вида (2.1.5) - (2.1.9), где переменные

и и значения функций , , - целые, либо булевые

Рассмотрим выражение (2.1.4). из него следует что переменные

и симметричны относительно заданной матрицы и функция (2.1.4) может быть определена как слева направо, так и наоборот, т.е.

(2.1.11)

На основе общей постановки определим основные свойства сформулированного класса задач, отличающие его от традиционных постановок задач дискретного программирования.

Свойство 1. В блочно-симметричной задаче имеется два типа переменных

и различного содержания, определенных как целочисленные (булевы) матрицы на заданной матрице .

В общем случае переменных может быть и больше в зависимости от постановок задач.

Свойство 2. Блочность задачи заключается в выделении в постановке отдельных блоков функций вида (2.1.5), (2.1.10); (2.1.6), (2.1.7) и (2.1.8), (2.1.9), которые соответственно зависят от переменных

и .

Как видно из указанных соотношении каждый из блоков имеет свою целевую функцию и координируется общим функционалом вида (2.1.5).

Свойство 3. Блочно-симметричную задачу в большинстве случаев можно представить в матричной форме вида (2.1.11).

Матричная форма постановки блочно-симметричных задач позволяет использовать аппарат теории матриц и разрабатывать эффективные алгоритмы решения задач этого класса.

Свойство 4. Симметричность задачи заключается в возможности вычисления (2.1.11) как слева направо, так и обратном направлении.

Указанные свойства и особенности блочно-симметричных задач ДП позволяют синтезировать алгоритмы, обеспечивающих решение практических задач большой размерности.

В ряде постановок задач функционал (2.1.1) можно представить в виде вектора функций

. В этом случае формулируется многокритериальная блочно-симметричная задача дискретного программирования.

Анализ постановки, свойств и особенности блочно-симметричных задач позволил разработать и предложить подход и схему метода решения общей задачи на основе следующего утверждения.

Утверждение. Распределение элементов множества

по непересекающим подмножествам соответствует логическому сложению строк матриц , а распределение элементов множества по непересекающимся подмножествам - логическому сложению столбцов матрицы . [132, 133] Результаты данного утверждения позволяют просто вычислить оценки и направления поиска решения для разработки эффективных алгоритмов.

Введем понятие базиса решения задач. Под базисом понимается заранее заданный состав элементов подмножеств

и .

В матрице

базис находится как некоторая матрица элементы которых определены. Данную матрицу путем перестановки номеров строки столбцов матрицы и их перенумировки всегда можно определить в левом верхнем углу. Такое представление упрощает процедуру оценок и определения направления поиска решения.

Для решения блочно-симметричной задачи дискретного программирования при условии, когда

, и - булевы матрицы, разработана и предложена эффективная схема решения задачи. Схема поиска решения состоит из следующих основных этапов:

1. В булевой матрице

выделим подматрицу , , и определим её как базис решения задачи.

2. Определим матрицу

, , направления поиска решения путем логического сложения небазисных строк матрицы со строками базиса и вычислим значения оценок только по позициям базиса.

3. В соответствии с полученными оценками осуществим распределение элементов множества

по множествам . В результате зафиксируем решение и промежуточную. Матрицу , , .

4. Определим матрицу

, , . направления поиска решения путем логического сложения небазисных столбцов промежуточной матрицы со столбцами базиса и вычислим значения оценок только по позициям базиса матрицы .

5. В соответствии с полученными оценками матрицы

распределим элементы множества по множествам . В результате фиксируем решение и целевую матрицу , на которой определено значение целевой функции .

6. Следует отметить, что поиск решения задачи может осуществляться как в прямом направлении по схеме

, так и в обратном направлении по схеме .