Элементы логики высказываний
Под высказыванием мы будем понимать повествовательное предложение, относительно которого объективно можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно.
Высказывания, подобные приведенным выше, называют простыми высказываниями. Они не могут быть «разложены» на более элементарные высказывания, относительно которых сохранилась бы объективная возможность оценить их истинность.
Из одних высказываний могут составляться (строиться) другие, более сложные высказывания. Такие высказывания мы будем называть составными, или сложными высказываниями.
В русском языке (и не только в русском) составные высказывания строятся из простых с помощью союзов (и, или), частицы (не) и словосочетаний (если…,то...;…тогда и только тогда, когда…; …если, и только если…;…необходимо и достаточно для… и т.д.)
Условимся обозначать простые высказывания большими буквами начала латинского алфавита: A, B, C (возможно с индексами: A1, A2, A3 и так далее), а значения истинности высказываний - буквами И (истина) и Л (ложь)[1]), которые называют логическими константами.
Определим операции над высказываниями, которые будут соответствовать союзам (и, или), частице не, словосочетаниям (если …, то …; …тогда и только тогда, когда ….; …если, и только если …; …необходимо и достаточно для… и т.д.) русского языка. Часто союзы, частицу не, указанные словосочетания называют связками. Соответствующие им операции называют логическими операциями, или логическими связками.
| A | B | A&B |
| Л | Л | Л |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
Обоснованием такого способа определения (задания) операции конъюнкции является то, что согласно интуитивному пониманию союза и, составное высказывание типа «A и B» истинно тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих его высказывания, на что и указывает последняя строка таблицы. В остальных случаях конъюнкция двух высказываний ложна. Операция конъюнкции обозначается также с помощью символов Ù и × (точка). Иногда знак конъюнкции между высказывания опускают, подобно тому, как в обычной алгебре часто опускают знак операции умножения.
| A | B | AÚB |
| Л | Л | Л |
| Л | И | И |
| И | Л | И |
| И | И | И |
Обоснованием такого способа определения (задания) операции дизъюнкции является то, что согласно интуитивному пониманию союза или, составное высказывание типа «A или B» ложно тогда и только тогда, когда ложны оба составляющие его высказывания, на что и указывает первая строка таблицы. В остальных случаях дизъюнкция двух высказываний истинна.
Приведенное определение операции дизъюнкции соответствует употреблению союза или в русском языке в так называемом соединительном смысле. Но часто этот союз употребляется в разделительном смысле, то есть понимается как «либо A, либо B, но не то и другое вместе». Такому пониманию союза или отвечает следующая таблица, определяющая операцию строгой дизъюнкции, обозначаемой с помощью символа Å:
| A | B | AÅB |
| Л | Л | Л |
| Л | И | И |
| И | Л | И |
| И | И | Л |
Частице не соответствует операция отрицания, обозначаемая символом и задаваемая таблицей:
| A | A |
| Л | И |
| И | Л |
То есть, высказывание A истинно, если высказывание A ложно, и наоборот, ложно, если A истинно.
Словосочетанию «если …, то …» соответствует операция, называемая материальной импликацией и обозначаемая символом É. Материальная импликация задается следующей таблицей:
| A | B | AÉB |
| Л | Л | И |
| Л | И | И |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
A называется антецедентом (или условием), B – консеквентом (или следствием) материальной импликации.
Определение материальной импликации (мы будем называть ее просто импликацией) весьма условно можно считать формализацией словосочетания «если …, то …». Дело в том, что словосочетание «если …, то …» выражает в языке не только логическую, но и причинно-следственную связь, которую материальная импликация выразить не может. И, тем не менее, это определение в значительной степени соответствует интуитивному пониманию словосочетания «если …, то …» в смысле логического следования. По крайней мере, высказывание, являющееся импликацией двух высказываний, ложно в том и только том случае, если мы из истины пытаемся сделать (или, как говорят, имплицировать, вывести) ложное заключение (третья строка таблицы).
Словосочетанию «…тогда и только тогда, когда …» (синонимы: «… если и только если …», «… эквивалентно…», «… необходимо и достаточно для …») соответствует логическая операция, называемая эквиваленцией и обозначаемая символом ~. Эквиваленция задается следующей таблицей:
| A | B | A~B |
| Л | Л | И |
| Л | И | Л |
| И | Л | Л |
| И | И | И |
То есть, эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда высказывания либо оба ложны, либо оба истинны.
Примером эквиваленции двух высказываний является высказывание «Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда все его стороны и углы равны между собой».
Свойства логических операций
Для обозначения логической равносильности двух высказываний будем использовать символ º. Приведем здесь лишь свойства основных логических операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
коммутативность конъюнкции: A&BºB&A,
коммутативность дизъюнкции: AÚBºBÚA.
ассоциативность конъюнкции: A&(B&C) º (A&B)&C,
ассоциативность дизъюнкции: AÚ(BÚC) º (AÚB)ÚC.
дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции:
дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
AÚ(B&C) º (AÚB)& (AÚC).
свойства константы И: A&И ºA, AÚИ ºA;
свойства константы Л: A&Л º Л, AÚЛ ºA.
ЗаконыДеМоргана: (A&B) º AÚB, (AÚB) º A&ØB.
Закон исключенного третьего
(tertiumnondatur - третьего не дано): AÚAº И.
Закон противоречия: A&Aº Л.
Закон снятия двойного отрицания: AºA.
Законы идемпотентности
идемпотентность конъюнкции: A&AºA,
идемпотентность дизъюнкции: AÚAºA.
ЗаконыпоглощенияA&(AÚB)ºA, AÚ(A&B)ºA.
Используя теперь приведенные свойства и законы, можно осуществлять эквивалентные (тождественные) преобразования формул логики высказываний, подобно тому, как мы преобразовывали формулы теории множеств. Но прежде уточним некоторые понятия и определения.
Переменную, которая может принимать значения конкретных высказываний, будем называть пропозициональной переменной. Логические константы И, Л будем называть пропозициональными константами.
Истинностными значениями пропозициональных переменных являются пропозициональные константы И, Л.
Пропозициональные переменные будем обозначать буквами конца латинского алфавита X, Y, Z (возможно с индексами: X1, X2, X3 и так далее).
Дадим индуктивное определение формулы логики высказываний:
1. Всякая пропозициональная константа и переменная есть формула логики высказываний.
2. Если F, Ф – формулы логики высказываний, то следующие последовательности символов также будут формулами логики высказываний:
3. Те и только те последовательности символов будут формулами логики высказываний, для которых это следует из пп.1 и 2 данного определения.[2])
Истинностным значением (или просто значением) формулы логики высказываний является значение истинности, получаемое при вычислении результатов всех логических операций, с помощью которых строится формула, при той или иной комбинации значений пропозициональных переменных и констант, входящих в формулу.
При вычислении значения формулы мы будем руководствоваться (как и в школьной алгебре) круглыми скобками (,) и следующим приоритетом (старшинством) операций:
- отрицание (Ø),
- конъюнкция (&),
- дизъюнкция (Ú), строгая дизъюнкция (Å),
- импликация (É),
- эквиваленция (~).
Операции перечислены в порядке убывания приоритета: отрицание (Ø) имеет самый высокий приоритет, а эквиваленция (~) – самый низкий. Старшинство операций учитывается, если скобки не определяют однозначно порядок вычисления.
Покажем на примерах как вычисляется значение истинности формул логики высказываний при заданных значениях истинности входящих в формулу пропозициональных переменных и констант. Для этого воспользуемся универсальным для логики высказываний методом – методом истинностных таблиц.
Прежде всего, заметим, что порядок вычисления значения истинности этой формулы определяется частично скобками, а частично старшинством операций. Этот порядок и вычисления в соответствии с ним представлены в таблице: