Решение уравнений, неравенств и их систем (стр. 2 из 2)

Из примера видно, что последовательность множеств, представляющих два полученных решения, сохранена в переменной answ. Для проверки правильности полученных решений, подставляем эти решения в исходную систему и вычисляем полученные выражения с помощью команды eval(). В результате вычисления системы уравнений на двух полученных решениях мы получили тождества, что говорит о правильности наших решений. Если для дальнейших вычислений необходимо иметь значения первого решения в виде отдельных переменных, то той же самой командой eval () можно извлечь их, вычислив, соответственно, неизвестную х и у на первом решении:

> x1:=eval(x,answ[1]);

> y1:=eval(y,answ[1]);

Для проверки решения можно использовать функцию mар() вместе с функцией subs(), которая за одну операцию проверит все решения. Это удобно, когда решений очень много и для каждого из них пришлось бы выполнять команду eval(), если использовать предыдущий подход. Для решения нашей системы вызов команды mар() выглядит так:

> map(subs,[answ],fs);

Команда solve () может решать неопределенные системы уравнений, в которых количество уравнений меньше числа неизвестных. В этом случае система Maple сама решает, какие из неизвестных принять за параметры, а какие за неизвестные, относительно которых следует строить решение:

> fs1:=x+3*y+4*z+5*t=50;

> fs2:=3*x+3*y+2*z+t=30;

> answ1:=solve({fs1,fs1});

Здесь решение получено в параметрической форме относительно неизвестных y, t и z, которые выбраны системой. Можно явно указать, относительно каких неизвестных следует решать систему уравнений, тогда оставшиеся будут рассматриваться как параметры:

> answ2:=solve({fs1,fs1},{y,z});

В этом решении явно указаны неизвестные у и z, и полученное решение зависит от двух параметров х и t.

С помощью функции eval () можно вычислить значения решения при конкретных значениях параметров:

> eval(answ2,{x=1,z=1,t=1});

Бывает, что при решении систем уравнений ответ получается в виде множества уравнений, в которых левая часть является неизвестной переменной. Чтобы присвоить найденные значения переменным, относительно которых решалась система, следует применять команду assign(). Эта команда присваивает переменным, стоящим в левой части уравнений из множества решений, значения, равные правым частям. Можно сказать, что эта команда заменяет знак равенства (=) на знак операции присваивания (:=) во множестве, состоящем из уравнений, в которых левые части представлены неизвестными:

> {q=a+b,w=g+p};

> assign(%);q;w;

> eq:=x*a+y*b=c;

> s:=solve({eq,x+y=1},{x,y});

> assign(s);x;y;

Если решение получено в виде последовательности выражений, то получить значение соответствующего решения можно с помощью индекса.

> fs:=y^4+2*y^2+2=0;

> d:=solve(fs);

> y1:=d[1];y1;

Напомним, что в приведенном примере Iозначает комплексную мнимую единицу, равную

.

3. Команда: fsolve ( )

По умолчанию Maple пытается найти аналитическое выражение для корней уравнения. Если это не удается, то, как отмечалось выше, в области вывода ничего не печатается. В подобных случаях (если корни действительно существуют) можно воспользоваться командой fsolve(), которая находит численное решение уравнения или системы уравнений. Формат команды отличается от формата команды solve() наличием третьего параметра опция:

fsolve (уравнения, переменные, опция);

Задание первых двух параметров соответствует заданию аналогичных параметров в командеsolve(), а параметр опция может принимать значения из таблицы 1.

Таблица 1. Значения параметра опцuя команды fsolve ( )

Значение	Смысл
complex	Разыскиваются комплексные корни (только для полиномов)
Fulldigits	Используется арифметика с максимальной мантиссой
Maxsols=n	Разыскивается n решений (только для полиномов)
а.. b илиx=a..b	Задан промежуток [а, b], на котором разыскивается решение (во второй форме задания этой опции х обозначает имя неизвестной переменной в уравнении)

Для произвольного уравнения по умолчанию эта функция находит одно решение, но для полиномов определяются все действительные корни. Для нахождения всех корней полинома, включая комплексные, следует задать опцию complex. В примере 4 показано использование команды численного решения уравнений.

Пример 4. Численное решение уравнений.

> eq:=x^4+2*x^2-2=0;

> s:=fsolve(eq,x);

> s:=fsolve(eq,x,complex);

> fsolve(ln(sin(x))=0,x);

> fsolve(ln(sin(x))=0,x,x=2..infinity);

> fsolve(ln(sin(x))=0,x,x=15..infinity);

Здесь также показано, как можно последовательно находить корни произвольного уравнения, задавая интервал изменения неизвестной величины с учетом полученного решения на предыдущем шаге нахождения корня (последние три команды).

4. Другие команды решения уравнений

Кроме универсальных команд solve () и fsolve () решения уравнений и систем уравнений, система Maple содержит специализированные команды, предназначенные либо для решения определенного класса уравнений, либо нахождения решений в заданном числовом поле. Здесь эти команды описаны предельно кратко для того, чтобы читатель знал об их существовании. Более подробно об этих командах можно узнать в справочной системе Maple, выполнив команду ?имя_команды, где вместо параметра имя_команды следует подставить ее действительное имя.

Команда isolve () ищет все целые решения уравнений. Если в уравнении задано несколько неизвестных, то строится решение относительно всех заданных неизвестных.

Пример 5. Целочисленное решение уравнений.

> isolve({(x+1)*(x-1/2)*(x-2)=0});

> isolve({5*x+6*y=1});

В решении последнего уравнения примера 5 использована целочисленная переменная _Z1 сгенерированная Maple.

Команда msolve () также ищет целочисленные решения уравнения, но только по модулю, заданному вторым параметром.

Пример 6. Целочисленное решение уравнений по заданному целому модулю.

> solve({3*x-4*y=1,7*x+y=2});

> msolve({3*x-4*y=1,7*x+y=2},11);

> msolve({3^n=4},11);

Команда rsolve () строит общее решение рекуррентного уравнения, используя начальные значения, если они заданы, или через их символьные обозначения, если они не заданы.

Пример 7. Решение рекуррентных уравнений.

> rsolve({F(n+2)=F(n+1)+F(n)},F(n)); # Без начальных условий

> rsolve({F(n+2)=F(n+1)+F(n),F(0)=1,F(1)=1},{F(n)});

# Используя заданные начальные условия

5. Решение неравенств

Команда solve () используется для решения неравенств и систем неравенств в области вещественных чисел точно так же, как и для решения уравнений и систем уравнений. Ответ выражается либо в виде множества неравенств, либо через функции RealRange () и Open (). Первая определяет замкнутый отрезок действительных чисел, а вторая используется для указания того, что граничная точка не входит в построенное решение. Для задания решения в виде множества, следует задать в виде множества либо само неравенство, либо неизвестную, относительно которой ищется решение. Если этого не сделать, то ответ будет получен с использованием указанных функций определения действительных отрезков.

Пример 8. Решение неравенств.

> solve((x+3)/(4-x)>4,x);

> solve((x+3)/(4-x)>4,{x});

> solve(log[1/2](log[2](x^2-8))>=-1);

> solve({log[1/2](log[2](x^2-8))>=-1});

В примере 8 решены два неравенства, для каждого из которых построено решение в виде множества и в форме действительных интервалов.

Литература

1. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. – М.: Мир, 1997. – 208 с.

2. Дьяконов В.П. Математическая система MapleV. – М.: Издательство “Солон”,1998.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с.

4. Матросов А.В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. – СПб.:БХВ - Петербург, 2001.– 528 с.

5. Манзон Б.М. MapleVPowerEdition – М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”,1998г.