Суперэлементное моделирование пространственной системы "плита

выявление элементов исследуемой системы;

изучение структуры выделенных элементов;

раскрытие функций каждого из элементов;

выявление связей между элементами.

Макроподход.

При этом методе система рассматривается как “черный ящик”, внутреннее строение которого неизвестно. Такая ситуация может быть, например, при изучении недоступных управляющих систем или исследование систем, структура которых изучена недостаточно. В процессе макро подхода исследователь, воздействуя различным образом на вход системы, анализирует ее реакцию на соответствующие входные воздействия. Имея обширную статистическую информацию вследствие ее анализа делается вывод о структуре системы и принципов ее функционирования.

Физическое моделирование.

Это моделирование осуществляется путем воспроизведения исследуемого процесса на модели, имеющий в общем случае отличную от оригинала природу, но одинаковое математическое описание процесса функционирования. При этом физические процессы, протекающие в модели и оригинале, являются подобными. Физическое моделирование позволяет провести исследование процессов и систем, непосредственный анализ которых затруднен или не возможен. Использование физической модели позволяет определить влияние различных параметров на протекание изучаемых процессов, уточнить структуру системы и понять принцип ее функционирования.

Математическое моделирование.

Математическая модель концентрирует в себе описанную в форме математических соотношений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующих объектах или знаниях.

Т. к. знания никогда не бывают абсолютными, а в гипотезах иногда намеренно не учитываются некоторые эффекты, то модель лишь приближенно описывает поведение реальной системы.

Основное назначение модели - это возможность сделать некоторые выводы о поведении реальной системы. Наблюдения над реальной системой (натурные эксперименты) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, т.к они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы.

Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают нам информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности приходится решать проблему соотношения (адекватности) модели и системы, т.е. необходимо проводить дополнительные исследования согласованности результатов моделирования с реальными результатами. Создавая модель, исследователь познает систему, т.е. выделяет ее как объект изучения из окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями, задачами и имеющимися возможностями.

В дальнейшем, анализируется система через поведение ее модели, в том числе делается, и прогнозирование ее функции во времени. Математические модели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками. Для всякой модели необходимо построить моделирующий алгоритм.

В целом можно сказать, что процесс моделирования сводится к трем объектам:

система (реальная, проектируемая, воображаемая);

математическая модель системы;

алгоритмическая модель системы.

В соответствии с этим возникают следующие задачи:

определение (формирование) системы исследования;

построение математической модели системы;

разработка алгоритм решения модели.

2. Основные понятия теории упругости

2.1 Напряжения

Будем рассматривать следующий случай: возьмем призматический стержень, который растягивается под действием сил, равномерно распределённых по его концевым сечениям, внутренние силы распределены равномерно по поперечному сечению стержня АВ, напряжения можно найти, разделив полное значение растягивающей силы Р на площадь поперечного сечения F.

В общем случае напряжения по сечению распределены неравномерно, чтобы определить значение напряжения в некоторой точке этой плоскости, возьмём элементарную площадку δFв окрестности данной точки и предположим, что силы, возникающие на этой площадке, сводятся к равнодействующей δP. Если теперь равномерно стянуть элементарную площадку δF, то в пределе получится отношение δP/δF, которое определит величину напряжения, возникающего на плоскости АВ в некоторой точке. Направление этого напряжения будет совпадать с направлением равнодействующей δP. В общем случае напряжение направлено под некоторым углом к площадке δF, на которой оно действует, и обычно раскладывается на две составляющие: нормальное напряжение, перпендикулярное к площадке δF, и касательное напряжение, действующее в плоскости площадки.

2.2 Деформации

При рассмотрении деформации в упругом теле предполагается, что

Существуют ограничения, препятствующие перемещению его как жёсткого тела. Таким образом, какое-либо перемещение частиц тела может происходить лишь за счёт его деформации. Малые перемещения частиц при деформировании тела разложим по составляющим u, v, параллельные соответствующим осям координат x, y. Можно предположить, что эти малые величины непрерывно изменяются по всей площади тела.

Рассмотрим бесконечно малый элемент dxdy вблизи точки О тела.

Можно показать, что относительное удлинение по направлению оси y задается производной.

Рассмотрим теперь изменение угла между отрезками ОА и ОВ, которые до деформирования тела были взаимно перпендикулярны. Если u и v - перемещения точки О в направлениях осей x и y, то перемещения точки А в направлении оси у и точки В в направлении оси х будут соответственно равны. Поэтому первоначально прямой угол АОВ между отрезками ОА и ОВ уменьшается на величину, которая представляет собой деформацию сдвига между осями х и у.

3. Основная концепция метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещений и т.п.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определённых на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. В качестве функции элемента, чаще всего, принимается полином. Порядок полинома определяется числом используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В общем случае форма конечного элемента может быть произвольной, но для удобства математических выкладок их принимают правильной геометрической формы. Конечные элементы могут быть линейные и криволинейные, одномерные, двумерные и трехмерные. Количество узлов конечного элемента может быть равно или больше количества вершин. В зависимости от этого качества можно проводить классификацию конечных элементов. Выделяют следующие три группы: симплекс-, комплекс - и мультиплекс-элементы.

Симплекс элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены:

;

Здесь коэффициентов столько сколько узлов.

Комплекс-элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу и члены первого и более высоких порядков. Форма комплекс элемента может быть такой же как и у симплекс-элемента, но комплекс элементы имеют количество узлов больше количества вершин.

Интерполяционный полином для двумерного треугольного комплекс элемента имеет вид:

Это соотношение содержит шесть коэффициентов, поэтому рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.

Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс-элемента тем, что его границы должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерывности при переходе от одного элемента к другому.

Границы и поверхности конечного элемента геометрически могут быть нелинейными все или только их часть. Возможность моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон (плоскостей) конечного элемента.

4. Характеристики тетраэдрального элемента

4.1 Функции перемещений

На фигуре 1 изображен тетраэдральный элемент ijpm в системе координат x, y, z.

Перемещение любой точки определяется тремя компонентами u, v, w в направлениях координат x, y, z. Таким образом, вектор перемещений имеет вид

. (1)

Если для задания линейного закона изменения какой-либо величины в плоском треугольном элементе требовались три узловых значения, то в трехмерном случае необходимо задать четыре узловых значения. По аналогии с представлением (4.3) можно записать, например,

. (2)

Приравнивая эти выражения перемещением узловых точек, получаем четыре уравнения типа

и т.д. (3)

из которых определяются коэффициенты

Запишем теперь соотношение (2) в следующей форме, с использованием определителя

(4), где

(5а)

Величина V в данном случае представляет собой объем тетраэдра. Коэффициентами

обозначены определители