Економічні задачі лінійного програмування і методи їх вирішення (стр. 4 из 4)
x2 – кількість продукту В;
Цільова функція буде мати вид:
Z=x1+2x2¦mах
Система обмежень:
3 x1+3 x2 <= 15 2 x1+6 x2 <= 18 4 x1<= 16 x1+2x2 <= 8 Xj>=0, j=1..2
Зведення задачі до канонічного виду: Zmax = x1+2x2 при умовах:
3x1+3x2+x3 = 15 2x1+6x2+x4 = 18 4x1+x5 = 16 x1+2x2+x6 = 8 Xj>=0, j=1..6
Таблиця 5.
| Базис | С | План | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| X3 | 0 | 15 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| X4 | 0 | 18 | 2 | 6 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| X5 | 0 | 16 | 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| X6 | 0 | 8 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Zj-Cj | 0 | -1 | -2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Таблиця 6.
| Базис | С | План | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| X3 | 0 | 6 | 2 | 0 | 1 | -0,5 | 0 | 0 |
| X2 | 2 | 3 | 40238 | 1 | 0 | 40330 | 0 | 0 |
| X5 | 0 | 16 | 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| X6 | 0 | 2 | 40238 | 0 | 0 | -0,3333 | 0 | 1 |
| Zj-Cj | 6 | -0,3333 | 0 | 0 | 40238 | 0 | 0 |
Таблиця 7.
| Базис | С | План | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| X1 | 1 | 3 | 1 | 0 | 40210 | -0,25 | 0 | 0 |
| X2 | 2 | 2 | 0 | 1 | -0,1667 | 40269 | 0 | 0 |
| X5 | 0 | 4 | 0 | 0 | -2 | 1 | 1 | 0 |
| X6 | 0 | 1 | 0 | 0 | -0,1667 | -0,25 | 0 | 1 |
| Zj-Cj | 7 | 0 | 0 | 40330 | 40269 | 0 | 0 |
Відповідь: Zmax =7, Xопт =(3 ; 2 ; 0 ; 0 ; 4 ; 1).
Це свідчить про те, що максимальний прибуток підприємства буде дорівнювати 7 грн., а виробництво продукції А і В складає відповідно 3 і 2 одиниці.
3.2 Вирішення задачі лінійного програмування за допомогою «Пошуку рішень» у середовищі Microsoft Office Excel 2003
«Пошук рішень» – одна із сервісних можливостей пакету Microsoft Office Excel 2003. Він представляє собою спрощений варіант симплекс-методу.
«Пошук рішень» викликається за допомогою меню «Сервіс», далі вибираємо підменю «Надстройки» і натискаємо «Пошук рішень» [12].
Методика знаходження рішення задачі за допомогою «Пошуку рішень» в Excel полягає в тому, що користувач задає основні параметри завдання (цільову функцію, систему обмежень) і змінні клітинки, яким дають деякі довільні початкові значення (одиниці). Після цього «Пошук рішень» автоматично перебирає всі можливі значення змінюваних клітинок так, щоб вони задовольняли обмеженням, а цільова функція приймала задані значення. Таким чином, порядок виконання «Пошуку рішень» такий [3]:
1. На аркуші Excel формується масив, відповідний розширеній матриці системи обмежень задачі (блок клітинок В2:С5 та Е2:Е5).
2. Виділяються клітинки, відповідні змінним завдання, яким присвоюються початкові значення, які дорівнюють одиницям (В8:С8).
3. Виділяється клітинка, в якій обчислюється значення цільової функції, яка містить посилання на клітинки змінних (у клітинку В10 вводимо формулу =1*B8+2*C8).
4. Створюється масив, відповідний лівим і правим частинам системи обмежень. Для цього з посиланням на клітинки коефіцієнтів і змінних обчислюються складові лівих частин системи обмежень, і обчислюється сума (у клітинку В12 вводимо формулу =B2*B8, у клітинку В13 вводимо =B3*$B$8 і далі тягнемо мишкою вниз ще на дві клітинки; у клітинку С12 вводимо =C2*$C$8 і тягнемо вниз; відповідно у клітинках Е12-Е15 обчислимо суму построково). Це все проілюстровано на рисунку 1.
Рис. 1.
5. Після запуску «Пошуку рішень» задається адреса цільової клітинки, спрямованість цільової функції, адреса змінюваних клітинок, система обмежень, умова невід’ємності значень змінних. Вікно «Пошуку рішень» зображено на рисунку 2.
Рис. 2.
6. У параметрах виділяється лінійна і невід'ємна моделі. Дивись рисунок 3.
Рис. 3.
7. Проводиться запуск. У випадку, якщо необхідне рішення знайдено, воно зберігається. Це вікно зображене на рисунку 4.
Рис. 4.
Остаточні результати бачимо на рисунку 5. З нього видно, що x1=3, тобто продукції виду А необхідно виготовляти у кількості 3-х одиниць, x2=2, тобто продукції виду В необхідно виготовляти у кількості 2-х одиниць, при цьому максимальне значення цільової функції буде досягати 7, тобто прибуток підприємства буде складати 7 грн.
Рис. 5.
Висновки
1. В даній курсовій роботі розглянуто методи розв’язку задач лінійного програмування.
2. Задачі лінійного програмування досить поширені у повсякденному житті. Тому в даній роботі розглянуто рішення на окремій задачі, а також розглянуто, як їх можна розв’язувати вручну і за допомогою спеціального програмного продукту.
3. Було розроблено математичну модель поставленої задачі, тобто записана цільова функція і система обмежень, і програмне забезпечення.
4. Дана задача вирішується симплекс-методом, тому досліджується основний принцип метода, його особливості.
5. При розв’язку задачі як в ручну, так і за допомогою програми було отримано значення цільової функції та значення шуканих змінних. Тобто визначивши всі витрати часу на виробництво продукції, можна отримати максимальний прибуток підприємства.
6. Результатом виконання даної курсової роботи є розроблена програма у найпоширенішому програмного пакеті Excel, що вирішує задачу симплекс-методом та виводить результат.
7. Програму можна вважати універсальною при дослідженні інших задач із області математичного програмування і використовувати для розрахунку різних видів оптимізації: і не тільки витрат, а й інших коштів, що проходять через будь-яку організацію.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. – М.: Высшая шк., 1986. –319с.
2. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и свіязь, 1989. – 176с.
3. Белобродский А.В., Гриценко М.А. Поиск решений с Excel 2000. –Воронеж, 2001.
4. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т.1. – М.: Издательство «Мир», 1972.
5. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. – М.: Дрофа, 2004.
6. Енциклопедія кібернетики /За ред. В. Глушкова. – К.: «Українська радянська енциклопедія», 1973.
7. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – К.: Вища шк., 1979.
8. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: «Дело и Сервис» , 1999. – 368 с.
9. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2000. – 208с.
10. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций /Под общ. ред.. Н. П. Тихомирова. – М.: «Экзамен», 2003.
11. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984. – 391с.
12. Мур Дж., Уэдерфорд Л.Р. и др. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1024 с.
13. Таха, Хемди А. Введение в исследование операцій: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912с.
14. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. – М.: «Мир», 1975.
15. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 367с.
16. Юдин Д. Б., Гольдштейн Е. Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. – М.: Наука, 1969. – 424с.