Системи автоматизованого проектування (стр. 7 из 12)
        Критерії оцінки Функці-оціона-льний опис об’єкту проектування | Топологічні Геометричні Моделі моделі Морфологічний опис об’єкту проектування | Методи і алгоритми аналізу об’єкту проек-тування | Методи і алгоритми структурного синтезу об’єкту проектування | Методи і алгоритми параметричного синтезу об’єкту проектування |
Рис. 4.1
Вимоги до математичних моделей [1, 2]. До ММ висуваються вимоги точності, надійності, економічності, універсальності та адекватності.
1. Точність: оцінюється ступенню співпадання реальних і розрахункових параметрів об’єкту. Оцінка здійснюється за допомогою даних ММ і
алгоритму. Нехай якості об’єкту проектування, що відображаються в ММ,
оцінюються вектором вихідних параметрів Y = (y1, y2, ... , ym). Тоді, позна-чивши дійсне та розраховане з допомогою ММ значення J- го вихідного параметру через Yj дійсн та Yj мод відповідно, визначимо відносну похибку Еj розрахунку параметра Yj як
Еj = (Yj мод - Yj дійсн) / Yj дійсн. (4.1)
Одержана оцінка e = (e1, e2, ... em). При необхідності зведення цієї оцінки до скалярної використовують будь- яку норму вектора
, наприклад 
eм =|| e || = max ej . (4.2) j 
(1: m)2. Надійність: необхідно використовувати такі ММ і алгоритми, які мають суворі обгрунтування використання.
3. Економічність ММ характеризується затратами обчислювальних ресурсів (затратами машинних часу Т та пам’яті П ) на її реалізацію. Чим менше Т та П , тим модель економічніша. Замість значень Т та П, які зале-жать не тільки від властивостей моделі, але й від особливостей ЕОМ, можна використовувати і інші величини: середня кількість операцій, які виконуються при одному зверненні до моделі, розмірність системи управління, кількість внутрішніх параметрів, які використовуються в моделі.
4. Універсальність: передбачає використання однотипних об’єктів без суттєвої перебудови ММ та алгоритмів.
5. Адекватність ММ це здатність ММ відображати властивості з похибкою, яка була б не більшою, ніж задана. Оскільки вихідні параметри є функціями векторів параметрів зовнішніх Q та внутрішніх X, похибка eJ залежить від значень Q та X. Як правило, значення внутрішніх параметрів ММ визначають з умови мінімізації похибки em в деякій точці Qном простору зовнішніх змінних, при цьому використовують модель розрахованим вектором X при різноманітних значеннях Q. Адекватність моделі ,як правило, має місце лиш в обмеженій області зміни зовнішніх змінних- області адекватності (ОА) математичної моделі:
ОА ={Q | eМ £ d}, (4.3)
де d > 0 - задана константа, рівна гранично допустимій похибці моделі.
3. Функціональний опис об’єктів проектування.
Функціональні моделі об’єкту проектування або його елементів являють собою залежності, які зв’язують вихідні характеристики з вхідними, внутрішніми (керуючими) та зовнішніми параметрами. В загальному випадку функціональні моделі записуються у вигляді співвідношення
Y = F(t, s, x, Q), (4.4)
де Y = (y1, y2, y3, ... yn) - вектор вихідних параметрів;
X = (x1, x2, x3, ... xn) - вектор внутрішніх (керованих) параметрів;
Q = (q1, q2, q3, ... qn) - вектор зовнішніх параметрів;
t - час;
S = (x, y, z) - вектор просторових координат.
Побудова функціональної ММ об’єкту можливе в тому випадку, коли вже виконаний морфологічний опис об’єкту проектування, тобто описаний склад його елементів та їх взаємодія.
3.1. Класифікація функціональних моделей.
1. В залежності від способу побудови: - теоретичні;
- експериментальні.
2. За формою зв’язків між параметрами моделі: - аналітичні;
- алгоритмічні.
3. В залежності від врахування випадкових факторів: - детерміновані;
- схоластичні.
4. В залежності від виду заданих параметрів моделі: - постійні;
дискретні.
5. В залежності від особливостей (типу) рівнянь, що входять в модель: - лінійні; -нелінійні.
6. В залежності відврахування або не врахування часу: - статичні; -динамічні.
7. По відношенню до ієрархічного рівня: - мікромоделі; - макромоделі; - метамоделі.
3.2. Види функціональних моделей
1. Математичні моделі у вигляді диференційних рівнянь в часткових
похідних (розподілені моделі). Такі моделі відображають процеси, що
протікають в загальному випадку в 3- х вимірному просторі і в часі вони
мають слідучий вигляд:
Ф(S, X, Y, Q, ¶U/¶ S, ¶ 2Y/¶ S2, ... , t) = 0, (4.5)
де Ф- оператор зв’язку між перемінними та їх похідними.
Приклади розподілених моделей:
- рівняння теплопровідності при моделюванні термічного режиму ро-боти двигуна внутрішнього згорання (ДВЗ);
- рівняння дифузії при моделюванні процесів охолодження ДВЗ;
- рівняння рівноваги, при моделюванні задач статики і динаміки машин.
2. Математичні моделі у вигляді звичайних диференційних рівнянь (зосереджені моделі).
y( ¶U/¶ t, X, Y, Q, t) = 0. (4.6)
Приклади зосереджених моделей:
Диференційне рівняння вигнутої осі балки на пружній основі при мо-делюванні напружено- деформованого стану вузлів машин і т. інше.
3. Математичні моделі у вигляді трансцендентних та алгебраїчних рівнянь:
F(Y, X, Q, t) = 0 - трансцендентне, (4.7)
Y = F (Q) - алгебраїчне. (4.8)
4. Математичні моделі у формі логічних рівнянь: - використовуються в системах автоматизації, реле і т. інше.
5. Математичні моделі стохастичних процесів: системи масового обслуговування (ЕОМ, бази, магазини, автозаправки, і т. інше).
3.3. Методи побудови функціональних моделей
По своїй суті ММ розподіляються на теоретичні та експериментальні (емпіричні) ММ. Всі інші класифікації це похідні від вищеперечислених.Розглянемо методи побудови цих ММ.
Методи побудови теоретичних функціональних моделей:
Для одержання теоретичних розподілених математичних моделей ви-користовуються фундаментальні фізичні закони: закони збереження маси,
енергії, кількості руху. Потім до них доповнюються граничні умови і ММ -
готова.
В основі одержання зосереджених моделей лежать також відомі зако-ни, принципи та гіпотези, які мають менш загальний характер: основний закон динаміки поступального та обертового руху, принцип складання швидкостей, закон Гука, гіпотеза плоских перерізів і т. інше.
Методи побудови експериментальних функціональних моделей
Для одержання статичних моделей використовується математичний апарат теорії планування експерименту, при якому ММ одержані у вигляді алгебраїчного рівняння виду Y = F (Q) - функція відкликання.
Для одержання динамічних моделей використовується метод індентифікації.
3.4 Критерій оцінки якості функціонування
Критерій оцінки якості функціонування - це кількісна міра якості об’єкту, що проектується і по суті своїй є математичним (формальним) еквіва-лентом мети проектування. Критерій якості функціонування ще називають функціоналом якості.
В залежності від мети проектування, як правило, необхідно найти або максимальне або мінімальне значення функціонала (критерія) якості. Рідше зустрічаються задачі, коли необхідно визначити його максимальне або мінімальне значення.