Методы одномерной оптимизации (стр. 1 из 2)
Министерство образования РФ
Волгоградский государственный технический университет
Контрольная работа
Методы одномерной оптимизации
Выполнил:
Группа АУЗ-362
Проверил:
Яновский Т.А.
Волгоград 2011
Метод установления границ начального отрезка локализации минимума
Представляет собой процедуру эвристического типа, предваряющую использование метода одномерного поиска, которому требуется начальный отрезок локализации минимума.
Алгоритм Свенна.
Шаг 1. Выбрать произвольную начальную точку
и 
– начальный положительный шаг.Шаг 2. Вычислить
Шаг 3. Сравнить
:а) если
то, согласно предположению об унимодальности функции, точка минимума должна лежать правее, чем точка . Положить 
, 
, k=2 и перейти на шаг 5.б) если
, то вычислить 
.Шаг 4. Сравнить
:а) если
, то точка минимума лежит между точками 
и 
, которые и образуют границы начального отрезка локализации минимума. Положить 
и завершить поиск.б) если
то, согласно предположению об унимодальности функции, точка минимума должна лежать левее, чем точка . Положить 
, k=2 и перейти на шаг 5.Шаг 5. Вычислить
.Шаг 6. Сравнить
:а) если
, топри
положить 
при
положить 
и завершить поиск.
б) если
, топри
положить 
при
положить 
положить k=k+1 и перейти на шаг 5.
Метод золотого сечения
Необходимо задать начальный отрезок локализации минимума и число
, характеризующее желаемую точность вычисления x*.Шаг 1. Вычислить
.Шаг 2. Найти пробные точки
и 
.Шаг 3. Вычислить значения функции в пробных точках
и 
.Шаг 4. Сравнить
и :а) если
, то положить 
.б) если
, положить 
.Шаг 5. Вычислить
. Если 
, то положить 
и закончить поиск, иначе перейти к шагу 3.Замечание: Данный алгоритм является несколько более медленно сходящимся по сравнению с алгоритмом, точно соответствующим методу “золотого сечения”, из-за того, что на каждой итерации он требует двух вычислений функции f(x) вместо одного. Однако это делает его более точным, так как при оперировании только с одной новой точкой ошибки округления могут привести к потере интервала, содержащего минимум.
Задание.
1.Самостоятельно найти в литературе по “Методам оптимизации” определение унимодальной функции и разобраться с его смыслом. Это важно, так как вычислительный процесс в любом методе одномерной оптимизации опирается на предположение об унимодальности
.2. Программно реализовать на языке C++ метод Свенна
(Программа должна обеспечить вывод на экран
- начальной точки и шага
на каждой итерации метода:
- номера итерации,
- генерируемой методом новой точки x и значения функции в ней;
а на последней итерации
- отрезка [a, b] локализации минимума функции f(x) и его длины, а также числа итераций.
Метод оценивания точки минимума внутри найденного отрезка локализации минимума
(Программа должна обеспечить на каждой итерации метода вывод на экран:
- номера итерации,
- границ текущего отрезка [a, b],
- внутренних точек и значений функции в них, а затем
- финальной оценки x* точки минимума функции f(x)
- соответствующего точке x* значения функции f(x*)).
3. С помощью программы решить следующие задачи одномерной оптимизации
- f(x) = x2 – 12x. Начальные точки: 1, 3, 0, 10. ∆ = 1, 10
- f(x) = 2x2+(16/x) Начальные точки: 1,6, 2, 1, 0.1, 10. ∆ = 1, 2
- f(x) = (127/4)x2-(61/4)x+2. Начальные точки: 0, 1, 2, -10, 10. ∆= 0,5, 1
4.Составить отчет, содержащий:
- Титульный лист с указанием учебной дисциплины, номера и названия задания, ФИО выполнившего работу студента;
- Полностью текст задания, приведенный несколькими строками выше;
- Определение унимодальности;
- Алгоритмы;
- Текст программы на С++;
- Подробное решение одной из предложенных задач – то, что выводит программа при ее решении на каждой итерации;
- Сводную таблицу результатов решения задач, содержащую информацию о тестовой функции, начальных данных задачи и параметрах программы и результаты решения задачи(оценку точки минимума, значение функции в ней, число итераций).
Задание№1
Программно реализовать на языке C++ метод Свенна
(Программа должна обеспечить вывод на экран
- начальной точки и шага на каждой итерации метода:
- номера итерации,
- генерируемой методом новой точки x и значения функции в ней; а на последней итерации отрезка [a, b] локализации минимума функции f(x) и его длины, а также числа итераций.
С помощью программы решить следующие задачи одномерной оптимизации
- f(x) = x2 – 12x. Начальные точки: 1, 3, 0, 10. ∆ = 1, 10
- f(x) = 2x2+(16/x) Начальные точки: 1,6, 2, 1, 0.1, 10. ∆ = 1, 2
- f(x) = (127/4)x2-(61/4)x+2. Начальные точки: 0, 1, 2, -10, 10. ∆= 0,5, 1
Текст программы на С++
#include <iostream.h>
#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <iomanip.h>
using namespace std;
double f(double ) ;
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
double t,ll,e,l,xk,yk,a,b;
double x,delta,xp,x1,x2,k=0,y;
int p=0;
cout<<"enter x* ";
cin>>x ;
cout<<"enter t ";
cin>>t;
x1=x-t;
x2=x+t;
if ((f(x-t) >=f(x)) && (f(x+t) >=f(x)))
{
a=x-t;
b=x+t;
p=1;
};
if ((f(x-t) <=f(x)) && (f(x+t) <=f(x)))
{
p=1;
};
xp=x;
if ((f(x-t) >f(x)) && (f(x) >f(x+t)))
{
delta=t;
a=x ;
x=x+t;
}
if ((f(x-t) < f(x)) && (f(x) < f(x+t)))
{
delta=-t;
b=x ;
x=x-t;
}
while ((p!=1))
{
if ((f(x)< f(xp)) && (delta*t >0))
a=xp;
if ((f(x)< f(xp)) && (delta*t <0))
b=xp;
if ((f(x)> f(xp)) && (delta*t >0))
{
b=x;
p=1;
};
if ((f(x)> f(xp)) && (delta*t<0))
{
a=x;
p=1;
};
k++;
cout<< " Номеритерации "<<k<<endl;
cout<< " Ганицыотрезка a="<<a<<" b="<<b<<endl;
xp=x;
x=xp+pow(2.0,k-1)*delta;
}
cout << " a= "<<a<< " b= "<< b<<endl; cout<< " Количествоитераций= " << k<< endl;
system("pause");
return 0;
}
double f(double x)