Отыскание корня уравнения методом половинного деления (стр. 1 из 2)
Содержание
1. Индивидуальное задание
2. Постановка задачи и формализация
3. Выбор, обоснование, краткое описание методов
3.1 Численное интегрирование
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Выбор и описание метода
3.2 Отыскание корня уравнения
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Выбор и описание метода (половинное деление)
4. Проверка условий сходимости методов
5. Тестирование программных модулей
5.1 Тестирование модуля численного интегрирования
5.1.1 Схема алгоритма тестирующей программы
5.1.2 Код тестирующей программы
5.1.3 Результат тестирования
5.2 Тестирование модуля отыскания корня уравнения методом половинного деления
5.2.1 Схема алгоритма тестирующей программы
5.2.2 Код тестирующей программы
5.2.3 Результат тестирования
5.3 Прогонка программы
5.3.1 Схема алгоритма программы при прогонке
5.3.2 Код программы при прогонке
5.3.3 Результаты работы программы при прогонке
6. Детализированная схема алгоритма
7. Код программы
8. Полученные результаты
9. Проверка результатов в MathCAD
10. Основные выводы
Список литературы
модуль корень половинный деление
1. Индивидуальное задание
Решить уравнение
на отрезке x℮[0;2р]2. Постановка задачи и формализация
Задача заключается в поиске корня уравнения f(x)=0 численным методом на отрезке неопределённости [0; 2р], где
Интегрирование проводится численным методом.
Для решения поставленной задачи необходимо разработать следующие модули:
- главный модуль, вводящий исходные данные (требуемую точность и концы отрезка неопределённости) и выводящий конечный результат (решение уравнения)
- модуль, задающий подынтегральное выражение
- модуль, выполняющий численное интегрирование и вычитающий р/2
- модуль, решающий нелинейное уравнение f(x)=0, где f(x) – значение функции, полученное в предыдущем модуле
Укрупнённый алгоритм решения задачи:
3. Выбор, обоснование, краткое описание методов
3.1 Численное интегрирование
3.1.1 Постановка задачи
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема, то определённый интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
Причём
Задача численного интегрирования заключается в нахождении значения определённого интеграла через ряд значений подынтегральной функции yi=f(xi), заданной в точках xi (i=0,1,…,n), причём x0=a, xn=b. Чащё всего интервал разбивают на подынтервалы длиной h=xi+1 – xi
Для получения простых формул интегрирования используют полином нулевой, первой и второй степени и соответственно получаются формулы численного интегрирования: прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Замена функции f(x) интерполирующим полиномом приводит к образованию погрешности вычисления значения интеграла
Здесь I1 – точное значение интеграла, I – значение, вычисленное численным методом, R- погрешность расчёта численным методом.
3.1.2 Выбор и описание метода
Выбор метода:
Находить значение интеграла можно многими способами, среди которых:
1) формула прямоугольников
2) формула трапеций
3) формула Симпсона
Выберем для вычисления интеграла по заданию формулу Симпсона, т.к. подынтегральная функция, имеет нелинейный характер и метод Симпсона обеспечивает
Наибольшую точность, т.к. подынтегральная функция аппроксимируется полиномом 2 порядка.
Описание метода:
Если для каждой пары отрезков [xi;xi+2] построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона:
n=2*m – чётное числоГеометрическая интерпретация формулы Симпсона:
На отрезке [xi;xi+2] длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки (xi;yi), (xi+1;yi+1), (xi+2;yi+2). Площадь под параболой, заключённой между осью абсцисс и прямыми x=xi, x=xi+2, принимают равной интегралу
3.2 Поиск корня нелинейного уравнения
3.2.1 Постановка задачи
Пусть требуется найти решение уравнения f(x)=0. f(x) – непрерывная функция в конечном или бесконечном интервале. Если f(x) представляет собой многочлен, то уравнение называют алгебраическим, в противном случае – трансцендентным.
Всякое значение x=x*, обращающее f(x) в ноль, называется корнем этого уравнения.
Решение задачи отыскания изолированных корней состоит из двух этапов: отделение корней, уточнение корней. При отыскании действительных корней этап отделения производится либо графически, либо аналитически, основываясь на теореме: если f(x) принимает на разных концах отрезка [a;b] разные знаки, то на [a;b] существует по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0.
Корень будет единственным на отрезке [a;b], если производная f(x) существует и сохраняет знак внутри [a;b].
3.2.2 Выбор и описание методов
Выбор метода:
Существует множество методов решения нелинейных уравнений, среди которых:
- метод половинного деления
- метод итераций
- метод Ньютона
- метод хорд
Выберем для решения нелинейного уравнения по заданию метод половинного деления, т.к. он имеет самые простые условия сходимости (не налагает никаких условий на производные f(x)) и прост в алгоритмизации.
Описание метода:
Пусть требуется уточнить единственный корень уравнения f(x)=0, принадлежащий отрезку [a;b] (отрезок неопределённости)
Точка c=(a+b)/2 – середина отрезка [a;b].
Если f(c)=0, то корень найден.
В противном случае для дальнейшего рассмотрения оставляют ту половину отрезка неопределённости [a;c] или [c;b], на концах которой знаки функции f(x) различны. При этом получается последовательность вложенных отрезков, содержащая искомый корень.
На каждом шаге длина отрезка неопределённости уменьшается вдвое. Метод сходится всегда.
Условием окончания поиска корня является (b-a)/2n<E или |f(x)|<E, где Е – точность, [a;b] – начальный отрезок неопределённости, n – число итераций
4. Проверка условий сходимости методов
Интегрирование по методу Симпсона
Для вычисления по методу Симпсона требуется, чтобы функция была непрерывной на отрезке интегрирования.
sin(t)/t=1 при t=0 по первому замечательному пределу, однако при вычислении в QBasic будет выдавать ошибку деления на ноль, поэтом в точке t=0 приравняем 1 искусственно.
Условие для вычисления по методу Симпсона выполняется.
Отыскание корня нелинейного уравнения методом половинного деления:
Условие f(a)*f(b)<0 выполняется при x=[0;5],
Условие единственности корня (sign (f `(x))= const при x=[a;b]) выполняется при xe [0;3]. На отрезке x=[3.3; 2*р] есть ещё один корень, поэтому сократим отрезок неопределённости до [0; 3] (с учетом условия метода Симпсона).
5. Тестирование программных модулей
5.1 Тестирование модуля численного интегрирования
Для тестирования модуля, вызовем его для отыскания интеграла
5.1.1 Схема алгоритма тестирующей программы:
Схема алгоритма управляющей программы:
Схема алгоритма f(x):
Схема алгоритма модуля численного интегрирования при тестировании:
5.1.2 Кодтестирующейпрограммы:
DECLARE function integr (afix,x,E)
DECLARE FUNCTION fint (x)
CLS
PRINT "Itog"; E; integr(0,1,0.001)
END
FUNCTION fint (t)
fint = EXP(t)
END FUNCTION
FUNCTION integr (afix, x, E)
aint = afix: bint = x
nint = 2: h = (bint - aint) / 2: s = (fint(aint) + 4 * fint((aint + bint) / 2) + fint(bint)) * (h / 3)
DO
nint = 2 * nint: h = (bint - aint) / nint: s1 = s: cin = 4: x = aint: s = fint(aint) + fint(bint)
FOR i = 1 TO nint - 1
x = x + h: s = s + cin * fint(x): cin = 6 - cin
NEXT i
s = s * h / 3
LOOP UNTIL ABS(s - s1) < E
integr = s
END FUNCTION
5.1.3 Результат тестирования:
Модуль отработал верно: при точности Е=0.001, I=1.718283, отрезок интегрирования разделился на 4, шаг h=0.25
5.2 Тестирование модуля поиска корня уравнения методом половинного деления
Протестируем модуль поиска корня уравнения на примере f(x)=1-x. В качестве отрезка неопределённости возьмём x=[-1;2] . Очевидно, что корень этого уравнения находится в x=1.