Вычисление определителя матрицы прямым методом (стр. 2 из 3)
Метод Гаусса можно интерпретировать как метод, в котором матрица приводится к верхней треугольной форме (прямой ход).
Приведем матрицу к верхней треугольной. Вычтем из второй строки первую, умноженную на такое число, при котором первый элемент второй строки обратится в нуль. То же проделаем со всеми остальными строками. В результате все элементы первого столбца, лежащие ниже главной диагонали, обратятся в нуль. Затем, используя вторую строку, обратим в нуль соответствующие элементы второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, приведем матрицу систему к верхней треугольной форме.
Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение к элементов из (k-1)-го столбца. Тогда останутся строки с ненулевыми элементами ниже главной диагонали.
Умножим k-ю строку на число
m > k (3)и вычтем из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам
(4) 
k < m(5)Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-го столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется прямым ходом метода Гаусса.
Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате выполнения прямого хода метода исключения система линейных уравнений приводится к верхней треугольной матрице. Следовательно, определитель матрицы системы может быть вычислен как произведение диагональных элементов:
(6)где k- количество перестановок строк при использовании метода исключения с выбором главного элемента.
На некотором шаге прямого хода может оказаться, что коэффициент
но мал по сравнению с остальными элементами матрицы системы и, в частности, мал по сравнению с элементами первого столбца. Деление коэффициентов системы на малую величину может привести к значительным ошибкам округления. Для уменьшения ошибок округления поступают следующим образом. Среди элементов первого столбца 
каждой промежуточной матрицы выбирают наибольший по модулю (главной) элемент и путем перестановки i-го строки со строкой, содержащей главный элемент, добиваются того, что главный элемент становится ведущим. Такая модификация метода исключения Гаусса называется методом Гаусса с выбором главного элемента. Случай появления нулевых элементов обходится при этом сам собой.Важным достоинством данного метода, является то, что вычисление определителя требует примерно (2/3)n³ операций, что несравнимо меньше с
операциями, при вычислении определителя по правилу Крамера, поэтому метод Гаусса с выбором главного элемента наиболее применим при обработке данных на компьютере.2. АЛГОРИТМ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ
2.1 Структура алгоритма и данных
Задача вычисления определителя матрицы разбивается на несколько подзадач:
1) Заполнение массива начальными данными;
2) Изменение порядка матрицы по желанию пользователя и заполнение нового массива;
3) Ввод и фильтрация вводимых пользователем данных в массив;
4) Вычисление детерминанта;
4.1) Ввод исходных данных в массив
4.2) Выбор главного элемента;
4.3) Замена строк местами;
4.4) Заполнение нового массива;
4.5) Приведение матрицы к верхнему треугольному виду;
4.6) Вычисление определителя матрицы.
Согласно вышеприведенной структуре, программа будет состоять из четырех подпрограмм:
1) Подпрограмма создания формы и ввода начальных данных в массив.
В данной подпрограмме задается начальное число столбцов и строк матрицы (ее порядок), вводятся заголовки матрицы, строк и столбцов в соответствии с заданным размером.
2) Подпрограмма изменения порядка матрицы;
В данной подпрограмме формируется новая матрица, исходя из данных, введенных пользователем, вводятся новые заголовки матрицы, строк и столбцов в соответствии с заданным размером.
3) Подпрограмма фильтрации вводимых пользователем данных, при нажатии на кнопки клавиатуры;
Данная подпрограмма разрешает пользователю вводить в матрицу только цифры, разделитель дробной и целой части и знак «-». Ввод других символов запрещается. Также в этой подпрограмме производится замена неверного разделителя на верный.
4) Подпрограмма вычисления определителя.
В данной подпрограмме происходит заполнение массива данных, поочередно для каждого столбца производится выбор главного элемента (наибольшего по модулю), затем строки меняются местами и производится приведение матрицы к верхней треугольной форме, т.е. когда ниже главной диагонали содержатся только нулевые элементы. Согласно вышеприведенным формулам производится вычисление значения детерминанта и полученный результат выводится на экран.
2.2 Схема алгоритма
На рисунке 1 представлен алгоритм работы программы при возникновении события OnCreate. Процедура TForm1.FormCreate(Sender: TObject).
Рис. 1. Алгоритм работы программы при возникновении события OnCreate
На рисунке 2 представлен алгоритм работы программы при нажатии на кнопку «Изменить размерность массива». Процедура TForm1.Button2Click(Sender: TObject).
Рис. 2. Алгоритм работы программы при нажатии на кнопку «Изменить размерность массива»
На рисунке 3 представлен алгоритм работы программы при вводе данных с клавиатуры (событие OnKeyPress). Процедура TForm1.StringGrid1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char).
Рис. 3. Алгоритм работы программы при при вводе данных с клавиатуры (событие OnKeyPress). Процедура TForm1.StringGrid1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char)
На рисунке 4 представлен алгоритм работы программы при нажатии на кнопку «Расчет». Процедура TForm1.Button1Click(Sender: TObject).
алгоритм программа pascal матрица определитель
Рис. 4. Алгоритм работы программы при нажатии на кнопку «Расчет»
3. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ
3.1 Описание переменных и структур данных
При выполнении программы используются следующие переменные: N – максимальное число строк (столбцов) массива; r, c,max, j, z, p, s, zam – номера строк и столбцов и количество производимых замен строк – все они являются переменными типа integer (целое), переменные detA, k, buf – детерминант, коэффициент и буфер, используемый при замене строк – переменные типа extended (действительное число), а также переменная А – массив, тип массива – двумерный (Massiv = array[1..Nmax,1..Nmax] of extended).
При запуске программы возникает событие «создание формы» (OnCreate), процедура TForm1.FormCreate(Sender: TObject). При этом задается количество строк и столбцов двумерного массива (по умолчанию 4 и 4) StringGrid1.RowCount := N+1; StringGrid1.ColCount := N+1; но ячейки первой строки и первого столбца не редактируемые, они используются для вывода надписей над строками и столбцами, для чего используются функции StringGrid1.Cells [0,r] := ' r = ' + IntToStr(r) и StringGrid1.Cells [c,0] := ' c = ' + IntToStr(c). Вывод данных поочередно в каждую из этих ячеек производится посредством стандартной инструкции for … to … do begin … end.
Нажатие на кнопку
влечет за собой возникновение события OnClick процедура TForm1.Button2Click(Sender: TObject). Данные о количестве строк и столбцов массива считываются из поля Edit1. Так как численное значение переменной N имеет целочисленный тип для преобразования строковой записи числа, находящегося в переменной Edit1.Text в целое, используется стандартная функция N:=StrToInt(Edit1.Text). 
возникает событие (OnClick), процедура TForm1.Button1Click(Sender: TObject). Задаются начальные значения переменных max:= 1, detA := 1,zam:=0. Производится заполнение массива (A[c,r]:=StrToFloat(StringGrid1.Cells[c,r])), свойство StringGrid1.Cells[c,r] определяет содержимое ячейки с табличными координатами (c,r), строковые значения переменных, находящихся в ячейках (c,r) преобразуются в вещественный тип посредством стандартной инструкции StrToFloat. Стандартная инструкция for … to … do begin … end позволяет выполнять несколько раз действия, заключенные в этой инструкции. Функция abs(A[c,j]) возвращает модуль аргумента.