Модель дослідження стійкості та якості перехідних процесів слідкувальної системи (стр. 3 из 6)

Само настройка реалізується як спеціальною апаратурою (у вигляді блоків само настройки або самоналагоджувальних екстремальних регулювальників), так і адаптивними алгоритмами центральних керуючих ЦВМ. Додання алгоритмам управління властивостей само настройки (адаптації) істотно розширює можливості управління всілякими процесами. Впровадження ССП дозволяє наблизитися до оптимальних режимів функціонування об'єктів, полегшує завдання уніфікації систем управління, скорочує час на випробування і наладку, знижує технологічні вимоги на виготовлення ряду вузлів пристроїв управління, звільняє обслуговуючий персонал від трудомістких операцій налаштування. Практичне використання ССП і самоналагоджувальних алгоритмів - одна з характерних меж технічного прогресу в області управління.

У статичному режимі роботи всі складові вектора стану САУ не залежать від моменту часу їх розгляду і залишаються постійними, відповідними умові рівноваги системи. Це стан залежно від структури і параметрів САУ може бути стійким або нестійким. Якщо після зміни вектора зовнішніх дій система приходить в стан, при якому всі складові вектора її стану стають постійними, тобто система повертається в положення рівноваги, то це стан рівноваги є стійким. У разі, коли після зміни вхідного сигналу або збурення, система не прагне в первинний стан, а вектор вихідних сигналів змінюється незалежно від зовнішньої дії, то такий стан є нестійким. В цьому випадку система автоматичного управління є нестійкою. Графічна інтерпретація таких режимів роботи САУ представлена на рисунок 1.1.

Рисунок 1.1- Графічна інтерпретація стійкості

Під стійкістю розуміється властивість САУ повертатися в початковий стан після виведення її з цього стану і припинення впливу задаючої або збурюючої дії. [2]

Тільки стійка система автоматичного управління може виконувати покладені на неї функції. Тому одним з основних завдань САУ є забезпечення її стійкості.

Основи теорії стійкості САУ були закладені А.М. Ляпуновим в його роботі "Загальне завдання стійкості рухів", опублікованої в 1882 р.

Якщо САУ представляється системою лінійних диференціальних рівнянь, то її стійкість не залежить від величини і точки додатку зовнішніх обурень.

Варто розрізняти стійкість системи управління, системи показників і стійкість функціонування самого підприємства, що залежить від ряду показників, життєвого циклу підприємства й етапу цього життєвого циклу.

Крім того, стійкість управління характеризує розтягнутість циклу управління. Чим оперативність управління вища, тобто відповідно тривалість циклу управління менша, тим і більш ефективний вплив системи управління на поведінку об'єкта.

Важливим фактором стійкості підприємства є його гнучкість, гнучкість системи управління. Під гнучкістю управління розуміється здатність системи пристосовуватися до умов управління, що змінюються.

Нелінійні системи можуть бути стійкі при малих обуреннях і нестійкі при великих обуреннях. Теорема Ляпунова встановлює, що про стійкість нелінійних систем при малих обуреннях можна судити по їх лінеаризованих рівняннях, достатньо адекватно тих, що описують поведінку САУ при малих відхиленнях від положення рівноваги. Тому розглядатимемо тільки питання стійкості САУ, що представляються лінійними або лінеаризованими диференціальними рівняннями.

При порушенні рівноваги САУ, викликаної зовнішнім дія, виникають перехідні процеси. Вид перехідного процесу залежить як від властивостей системи, так і від виду обурення. У перехідному процесі присутні 2 складові:

— вільні рухи системи, визначувані початковими умовами і властивостями САУ;

вимушені рухи, визначувані обуренням і властивостями системи. Вид перехідного процесу визначається як

Щоб САУ могла достовірно відображати інформацію, що задавалася, необхідно, щоб в перехідному процесі вільна складова з часом повинна прагнути до нуля, тобто повинна виконуватися умова вигляду:

Характер вільного руху системи визначає її стійкість або нестійкість.

Можливі види перехідних процесів в САУ представлені на рисунок. 1.2.

Рисунок 1.2 - Види кривих перехідних процесів

Прямий аналіз стійкості САУ, заснований на обчисленні коріння характеристичного рівняння, пов'язаний з необхідністю обчислення коріння, що є непростим завданням. Тому в інженерній практиці важливого значення набувають правила, що дозволяють визначати стійкість системи без обчислення коріння характеристичного рівняння.

Способи визначення стійкості САУ без обчислення коріння характеристичного рівняння називаються критеріями стійкості САУ. Розрізняють дві групи критеріїв стійкості: алгебра – засновані на аналізі коефіцієнтів характеристичного рівняння, і частотні – засновані на аналізі частотних характеристик САУ.

Критерії стійкості лінійних САУ

Критерій Рауса

Цей критерій є системою нерівностей, складених по особливих правилах з коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої САУ:

1) У першому рядку таблиці записують коефіцієнти характеристичного рівняння, що мають парні індекси в порядку їх зростання.

2) У другому рядку таблиці записують коефіцієнти з непарними індексами в порядку їх зростання.

3) У подальші рядки вписують коефіцієнти, визначені як

де – i – індекс, що позначає номер рядка таблиці

– індекс, що позначає номер стовпця таблиці.

4) Число рядків таблиці Рауса на одиницю перевищує порядок характеристичного рівняння замкнутої САУ.

Умови стійкості Рауса: Щоб САУ була стійкою необхідно і достатньо, щоб всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса мали один і той же знак, тобто були позитивними. Якщо не всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса позитивні, тобто САУ нестійка, число правого коріння характеристичного рівняння рівне числу змін знаку в першому стовпці таблиці Рауса.

Критерій Гурвіца

Цей критерій дозволяє визначити стійкість САУ, якщо характеристичне рівняння замкнутої системи представлене у вигляді:

Для цього будується головний визначник Гурвіца за наступним правилом: по головній діагоналі виписуються всі коефіцієнти від до в порядку зростання коефіцієнтів. Стовпці вгору від головної діагоналі заповнюються коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами, а стовпці вниз – коефіцієнтами з послідовно убиваючими індексами. На місці коефіцієнтів з індексами, великими порядку характеристичного рівняння і меншими нуля, проставляють нулі.

Виділяючи в головному визначнику Гурвіца діагональний мінор, отримуємо визначника Гурвіца нижчого порядку. Номер визначника Гурвіца визначається номером коефіцієнта по діагоналі, до якого складають даного визначника.

Умовою даного критерію є, щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб визначник Гурвіца і його діагональний мінор мали знаки, однакові із знаком першого коефіцієнта характеристичного рівняння замкнутої САУ. При для стійкості САУ необхідно і достатнє виконання умов:

Розглянемо замкнуту САУ, що складається з трьох послідовно включених аперіодичних ланок, охоплених 100% зворотним зв'язком.

Передавальна розімкненою САУ функція має вигляд:

Передавальна функція замкнутої САУ визначається як

Головний визначник Гурвіца має вигляд:

Перший визначник Гурвіца

. Ця умова виконується для всіх