Работа с массивами и решение систем уравнений в Mathcad (стр. 1 из 2)

Содержание

Введение

1. Ранжированные переменные

2. Работа с массивами

3. Решение систем линейных уравнений

4. Решение нелинейных уравнений

5. Решение систем нелинейных уравнений

Заключение

Библиографический список

Введение

Одна из задач ЭВМ - автоматизация труда, повышение эффективности научных исследований. Основная особенность ЭВМ - ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К подобным пакетам относится MATHCAD.

MATHCAD - универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное преимущество пакета - естественный математический язык, на котором формируются решаемые задачи.

Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка позволяет пользователю получить готовый итоговый документ. Пакет обладает широкими графическими возможностями, расширяемыми от версии к версии. Практическое применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда.

Цель работы: изучение выполнения основных операций с массивами, решения систем линейных и нелинейных уравнений в Mathcad.

1. Ранжированные переменные

В математике часто возникает необходимость в задании некоторого ряда значений. Например, при вычислении

нужно сформировать ряд чисел от 1 до N с шагом 1 и перемножить их. Для создания таких рядов в Mathcad используются ранжированные переменные. В простом случае для создания ранжированной переменной используется выражение

Name:=Nbegin…Nend,

Где Name – имя переменной, Nbegin – начальное значение переменной, Nend – ее конечное значение. Символ «…» (он вводится с клавиатуры знаком точка с запятой «;») указывает на изменение переменной в заданных границах. Если Nbegin<Nend, то шаг изменения переменной будет равен +1, в противном случае –1. Например, выражение a:=1…10 описывает ранжированную переменную a со значениями от 1 до 10.

Для создания ранжированной переменной общего вида используется выражение

Name:=Nbegin, (Nbegin+Step)…Nend,

где Step- заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin<Nend и отрицательным в противном случае).

Например, выражение a:=1, 1.5, …10 описывает ранжированную переменную a со значениями от 1 до 10 с шагом 0,5.

Ранжированные переменные широко применяются для представления функций в виде таблиц вывода, а также для построения их графиков.

Если после некоторого выражения с ранжированной переменной поставить знак равенства, то после щелчка мышью на экране будет выведена таблица значений этого выражения. Такие таблицы называются таблицами вывода.

Необходимо учитывать следующее свойство таблиц вывода: если количество значений ранжированной переменной и, соответственно, строк в таблице вывода больше 16, то выводятся первые 16 строк. Если указатель мыши находится в пределах таблицы, то щелчок левой кнопкой мыши приводит к появлению вертикальной полосы прокрутки, позволяющей просмотреть все строки таблицы.

Помните, что задание ранжированных переменных эквивалентно заданию конечных циклов.

Примеры использования ранжированных переменных приведены на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Примеры использования ранжированных переменных

2. Работа с массивами

Ранжированная переменная отличается от вектора (одномерного массива) тем, что невозможно использование ее отдельных значений. При необходимости иметь доступ к каждому значению переменной со многими компонентами она должна быть задана в виде одномерного (вектора) и двумерного (матрицы) массива.

Местоположение элемента массива задается одним индексом для вектора и двумя для матрицы. Индексы могут быть только положительными целыми числами. Для ввода индекса используется знак « [ » – прямая открывающая скобка.

Для задания массивов можно либо воспользоваться командой Matrices меню Math, либо нажать комбинацию клавиш Ctrl+V, либо щелкнуть на значке с изображением шаблона матрицы. Любое из этих действий вызывает появление диалогового окна, в котором надо указать количество строк m и столбцов n в массиве. При m=1 получим вектор-столбец, а при n=1 – вектор-строку.

В отношении массивов действуют те же правила присваивания и вывода, что и для обычных переменных. В частности, с помощью оператора присваивания можно создать массив заданного размера и заданного типа без ручного заполнения шаблона (рисунок 2.1.).

Рис. 2.1 Пример создания матриц без использования шаблонов матриц

Для работы с массивами Mathcad содержит ряд операторов и функций. Ниже представлены операторы для работы с векторами и матрицами. В таблице используются следующие обозначения: V – для векторов, M – для матриц, Z – для скалярных величин.

Оператор	Ввод	Описание
V1+V2	V1+V2	Сложение векторов V1 и V2
V1-V2	V1-V2	Вычитание векторов V1 и V2
-V	-V	Смена знака у элементов вектора V
-M	-M	Смена знака у элементов матрицы M
V-Z	V-Z	Вычитание из всех элементов вектора V скаляра Z
Z*V, V*Z	Z*V, V*Z	Умножение вектора V на скаляр Z
Z*M, M*Z	Z*M, M*Z	Умножение матрицы M на скаляр Z
V1*V2	V1*V2	Скалярное умножение векторов V1 и V2
M*V	M*V	Умножение матрицы M на вектор V
M1*M2	M1*M2	Умножение матрицы M1 на матрицу M2
	V/Z	Деление всех элементов вектора V на скаляр Z
	M/Z	Деление всех элементов матрицы M на скаляр Z
M-1	M^-1	Обращение матрицы M
Mn	M^n	Возведение матрицы M в степень n
|V|	|V	Вычисление модуля вектора V
|M|	|M	Вычисление определителя матрицы M
VT	V Ctrl+!	Транспонирование вектора V
MT	M Ctrl+!	Транспонирование матрицы M
V1´V2	V1 Ctrl+* V2	Векторное умножение векторов V1 и V2
	Alt+$ V	Вычисление суммы элементов вектора V
M<n>	M Ctrl+^ n	Выделение n-ого столбца матрицы M
Vn	V[n	Выделение n-ого элемента вектора V
Mm,n	M[(m,n)	Выделение элемента (m, n) матрицы M

Существует ряд встроенных векторных и матричных функций. Они облегчают решение задач линейной алгебры и других сфер приложения векторов и матриц.

length(V)	возвращает число элементов вектора
last(V)	возвращает номер последнего элемента вектора
max(V)	возвращает максимальный по значению элемент вектора или матрицы
min(V)	возвращает минимальный по значению элемент вектора или матрицы
augment(M1,M2)	объединяет в одну две матрицы, имеющие одинаковое число строк (объединение идет бок о бок)
identity(n)	создает единичную квадратную матрицу размером n*n
stack(M1,M2)	объединяет в одну две матрицы, имеющие одинаковое число столбцов, располагая М1 над М2
submatrix(A,ir,jr,ic,jc)	возвращает субматрицу, состоящую из всех элементов содержащихся в строках от ir по jr и столбцов с ic по jc (ir£jr и ic£jc)
diag(V)	создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой равны элементам вектора V
matrix(m,n,f)	создает матрицу, в которой (i, j) элемент равен f(i,j), где i=0, 1, …, m и j=0, 1, …, n; f(i,j) - некоторая функция
cols(M)	возвращает число столбцов матрицы M
rows(M)	возвращает число строк матрицы M
rank(M)	возвращает ранг матрицы M
tr(M)	возвращает след (сумму диагональных элементов) матрицы M
mean(M)	возвращает среднее значение элементов матрицы M

Примеры работы с матрицами приведены на рисунке 2.2.

Рис. 2.2. Примеры работы с матрицами

3. Решение систем линейных уравнений

Векторные и матричные операторы и функции позволяют решать широкий круг задач линейной алгебры.

Например, если задана матрица A и вектор B для системы линейных уравнений в матричной форме

, то вектор решения X можно получить из уравнения .

Поскольку решение систем линейных уравнений довольно распространенная задача, то в Mathcad введена специальная функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений

при заданной матрице коэффициентов A и векторе свободных членов B. Если уравнений n, то размер вектора B должен быть n, а матрицы A - n´n.

Пусть необходимо решить систему уравнений

.