Исследование точности численного дифференцирования (стр. 1 из 2)
Курсовая работа
"Исследование точности численного дифференцирования"
Екатеринбург 2009 г.
1. Подробное описание задачи и метод ее решения
Исследуйте два метода численного дифференцирования:
где xi – узел равномерной сетки с шагом h.
Предполагается, что отрезок дифференцирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой)
Исследование проведите на примерах:
Относительную погрешность определяйте относительно максимального значения функции на интервале, абсолютную погрешность рассчитайте относительно значений аналитически вычисленной производной.
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически – например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
При численном дифференцировании функцию y(x) аппроксимируют легко вычисляемой функцией. При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Задание требует исследовать 2 метода. Оба метода можно применять для всех функций, приведенных в задании, исходя из области определения этих функций.
На самом деле, метод решения данной задачи довольно тривиален, так как все формулы приведены в условии задачи.
Входные данные: номер функции, номер метода, точность (шаг), левое значение, правое значение. Для функции у=cos2mxнужно выбрать параметр m из предложенных.
Выходные данные: аргумент, значение функции при заданном параметре, значение первой производной, абсолютная погрешность, относительная погрешность.
1) y=cos2mx, для m=1 [0, 3.14]
выберем шаг=0,3 и интервал [0,3.14]
Метод 1
| параметр | значение функции | значениепроизводной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0,3 | 0,912668 | -0,531369 | 0,0596719 | 0,59104 |
| 0,6 | 0,681179 | -0,877115 | 0,25217 | 1,12928 |
| 0,9 | 0,386399 | -0,91646 | 0,650194 | 1,56665 |
| 1,2 | 0,131303 | -0,635659 | 1,22842 | 1,86408 |
| 1,5 | 0,00500375 | -0,132804 | 1,86219 | 1,99499 |
| 1,8 | 0,0516208 | 0,416443 | 2,36414 | 1,9477 |
| 2,1 | 0,25487 | 0,820214 | 2,54663 | 1,72642 |
| 2,4 | 0,543749 | 0,937461 | 2,28839 | 1,35093 |
| 2,7 | 0,817346 | 0,727226 | 1,58199 | 0,85476 |
| 3 | 0,980085 | 0,26295 | 0,54519 | 0,28224 |
Метод 2
| параметр | значение функции | значение производной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0,3 | 0,912668 | -0,562306 | 0,0287348 | 0,59104 |
| 0,6 | 0,681179 | -0,928182 | 0,201103 | 1,12928 |
| 0,9 | 0,386399 | -0,969817 | 0,596837 | 1,56665 |
| 1,2 | 0,131303 | -0,672668 | 1,19141 | 1,86408 |
| 1,5 | 0,00500375 | -0,140536 | 1,85445 | 1,99499 |
| 1,8 | 0,0516208 | 0,440689 | 2,38838 | 1,9477 |
| 2,1 | 0,25487 | 0,867969 | 2,59439 | 1,72642 |
| 2,4 | 0,543749 | 0,992042 | 2,34297 | 1,35093 |
| 2,7 | 0,817346 | 0,769566 | 1,62433 | 0,85476 |
| 3 | 0,980085 | 0,278259 | 0,560499 | 0,28224 |
Графики
Для первого графика выберем шаг = 0,05, для большей точности построения
численный дифференцирование абсолютный погрешность
Рисунок 1. Значение функции y=cos2mx при m=1
Рисунок 2. Значение первой производной функции y=cos2mx при m=1
Рисунок 3. Абсолютная погрешность функции y=cos2mx при m=1
Рисунок 4. Относительная погрешность функции y=cos2mx при m=1
2) y=cos2mx, для m=12 [0, 3.14]
выберем шаг=0,3 и интервал [0,3.14]
Метод 1
| параметр | значение функции | значениепроизводной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0,3 | 0,804176 | -1,04985 | 1,93489 | 0,885041 |
| 0,6 | 0,370091 | -1,27735 | 0,309983 | 1,58734 |
| 0,9 | 0,037764 | -0,50431 | 2,46618 | 1,96187 |
| 1,2 | 0,067505 | 0,663757 | 2,59507 | 1,93132 |
| 1,5 | 0,436018 | 1,31191 | 0,190069 | 1,50197 |
| 1,8 | 0,854648 | 0,932442 | 1,69494 | 0,762501 |
| 2,1 | 0,995483 | -0,177401 | 0,0429848 | 0,134416 |
| 2,4 | 0,748207 | -1,14829 | 2,15186 | 1,00358 |
| 2,7 | 0,306512 | -1,21972 | 0,445798 | 1,66552 |
| 3 | 0,016375 | -0,335752 | 2,31931 | 1,98356 |
Метод 2
| параметр | значение функции | значениепроизводной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0,3 | 0,804176 | -1,04985 | 1,93489 | 0,885041 |
| 0,6 | 0,370091 | -1,27735 | 0,309983 | 1,58734 |
| 0,9 | 0,037764 | -0,50431 | 2,46618 | 1,96187 |
| 1,2 | 0,067505 | 0,663757 | 2,59507 | 1,93132 |
| 1,5 | 0,436018 | 1,31191 | 0,190069 | 1,50197 |
| 1,8 | 0,854648 | 0,932442 | 1,69494 | 0,762501 |
| 2,1 | 0,995483 | -0,177401 | 0,0429848 | 0,134416 |
| 2,4 | 0,748207 | -1,14829 | 2,15186 | 1,00358 |
| 2,7 | 0,306512 | -1,21972 | 0,445798 | 1,66552 |
| 3 | 0,016375 | -0,335752 | 2,31931 | 1,98356 |
Графики
Для первых двух графиков выберем шаг = 0,05
Рисунок 5. Значение функции y=cos2mx при m=12
Рисунок 6. Значение первой производной функции y=cos2mx при m=12
Рисунок 7. Абсолютная погрешность функции y=cos2mx при m=12
Рисунок 8. Относительная погрешность функции y=cos2mx при m=12
3) y=
[0. 01,1]выберем шаг=0,05 на интервале [0. 5,1], графики при этих данных наиболее наглядные данные.
Метод 1
| параметр | значение функции | значениепроизводной | абсолютная погрешность | относительная погрешность |
| 0,5 | 4 | -16,3249 | 0,324865 | 4 |
| 0,55 | 3,30579 | -12,2222 | 0,201185 | 3,00526 |
| 0,6 | 2,77778 | -9,38921 | 0,129953 | 2,31481 |
| 0,65 | 2,36686 | -7,36961 | 0,0869563 | 1,82066 |
| 0,7 | 2,04082 | -5,89086 | 0,0599575 | 1,45773 |
| 0,75 | 1,77778 | -4,78316 | 0,0424225 | 1,18519 |
| 0,8 | 1360531 | -3,93695 | 0,0306973 | 0,976562 |
| 0,85 | 1,38408 | -3,27932 | 0,022655 | 0,814166 |
| 0,9 | 1,23457 | -2,7605 | 0,0170138 | 0,685871 |
| 0,95 | 1,10803 | -2,34568 | 0,0129775 | 0,583175 |
| 1 | 1 | -2,01004 | 0,0100376 | 0,5 |
Метод 2
| параметр | значение функции | производная | абсолютная | относительная |
| 0,5 | 4 | -15,9794 | 0,0205506 | 4 |
| 0,55 | 3,30579 | -12,0106 | 0,01042 | 3,00526 |
| 0,6 | 2,77778 | -9,25364 | 0,0056158 | 2,31481 |
| 0,65 | 2,36686 | -7,27947 | 0,0031844 | 1,82066 |
| 0,7 | 2,04082 | -5,82902 | 0,00188505 | 1,45773 |
| 0,75 | 1,77778 | -4,73958 | 0,00115782 | 1,18519 |
| 0,8 | 1360531 | -3,90552 | 0,000734272 | 0,976562 |
| 0,85 | 1,38408 | -3,25619 | 0,000478899 | 0,814166 |
| 0,9 | 1,23457 | -2,74316 | 0,000320172 | 0,685871 |
| 0,95 | 1,10803 | -2,33248 | 0,000218821 | 0,583175 |
| 1 | 1 | -1,99985 | 0,000152533 | 0,5 |
В конце работы программы получен текстовый файл, содержащий аргумент функции, значение функции, значение первой производной, абсолютную и относительную погрешность. По этим данным построены графики зависимости аргумента от значения функции, производной, абсолютной и относительной погрешности. Каждый график содержит кривые, полученные вычислениями двумя различными методами, графики примерно совпадают, но все же есть некоторые погрешности.
Описание применения
Техническое задание
Исследуйте два метода численного дифференцирования:
где xi – узел равномерной сетки с шагом h.
Предполагается, что отрезок дифференцирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой)
Исследование проведите на примерах:
Относительную погрешность определяйте относительно максимального значения функции на интервале, абсолютную погрешность рассчитайте относительно значений аналитически вычисленной производной. Данная программа предназначена для исследования метода численного дифференцирования двумя способами.