Анодирование алюминия как объект автоматизированного проектирования (стр. 6 из 16)
Интерполирование функций многих переменных значительно сложнее, чем функции одной переменной. Это вызвано не только тем, что рассуждения становятся более громоздкими в силу наличия большого числа переменных, но и рядом принципиальных трудностей.
Первой трудностью является то, что если представить многочлен в виде:
P (x,y) =a00+a10x+a01y+a20x2+ a11xy+a02y2 +…+aomym, (6)
где аij - коэффициенты.
То подставляя данные координаты точек и приравнивая левую часть соответствующему значению zi, получим систему n+1 линейных алгебраических уравнений относительно 1+2+…+ (m+1) = (m+1) (m+2) /2 неизвестных коэффициентов aij. Вообще говоря эти уравнения независимы. Следовательно, если не накладывать на P (x,y) никаких дополнительных условий, то n+1 должно быть равно (m+1) (m+2) /2. Поэтому мы не можем решить поставленную задачу при произвольном количестве узлов интерполирования.
Второе принципиальное затруднение это то, что узлы интерполирования не могут располагаться произвольно. Рассмотрим на примере n=2 и n=5: для первого случая определитель будет обращен в нуль, если три точки (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2) лежат на одной прямой; во втором случае определитель будет обращаться в нуль если 6 точек интерполирования лежат на одной кривой второго порядка. Аналогично, если взять 10 узлов интерполирования, то определитель системы обратиться в нуль, если все они лежат на одной прямой третьего порядка. Проверка того, что определители не обращается в нуль, чрезвычайно затруднительна.
Третье принципиальное затруднение возникает при оценке остаточных членов. Так как теорема Ролля, для данного случая действовать не будет.
Также существуют еще несколько нюансов показывающие, что использовать только интерполирование нерационально. Во-первых, если число узлов велико, то мы получаем громоздкие выражения для интерполяционных многочленов. Во-вторых, если табличные значения функции подвержены каким-то случайным ошибкам измерения, то эти ошибки будут внесены в интерполяционный многочлен и тем самым исказят истинную картину поведения функции.
Из всего вышесказанного следует, что использовать интерполяционный многочлен необходимо, если только не нужна большая точность, поэтому логичным будет использовать аппроксимационную функцию, т.к. эта функция будет близко проходить к заданным значениям, будет происходить дополнительное сглаживание результатов наблюдения.
При аппроксимации главным допущением является то, что значения аргумента x0,x1,.,xnнайдены значительно точнее, чем значения функции f (xi). Также будем предполагать, что систематические погрешности, а также грубые ошибки в значениях функции f (xi) исключены (если нет то необходимо сгладить таблицные значения).
Для получения значения функции в точке xрасположенных между xiи xi+1, будем применять сглаживающую функцию основанную на методе наименьших квадратов, предполагая, что x0,x1,.,xnравностоящие, а все значения f (xi) имеют одинаковую точность.
Пусть φ0 (x), φ1 (x),…, φm (x) - какая-то система линейно независимых функций на интервале [a,b], m≤n. Будем разыскивать обобщенный многочлен, составленный из этих функций:
, (7)где f (xi) - значение функции взятой из таблицы;
Ф (xi) - значение подбираемой функции;
рi - вес точности.
Далее необходимо, чтобы этот многочлен имел наименьшее значение. В нашем случае значения f (xi) имеют одинаковую точность, поэтому:
, (8)где рi - вес точности.
Тогда получаем:
, (9)где f (xi) - значение функции взятой из таблицы;
Ф (xi) - значение подбираемой функции.
Аппроксимировав данные взятые из таблиц 1,2,3,4 алгебраическими многочленами 1,x,x2,…,xm, т.к. они образуют систему Чебышева на любом отрезке, а следовательно линейно не зависимы, получим зависимость коррозийной стойкости от плотности тока, концентрации соли и плотности серной кислоты. Для удобства читаемости запишем формулу в виде:
, (10)где Ch - числитель в формуле,
Zn - знаменатель.
), (11)где p - плотность заданного электролита,
c - концентрация соли в растворе электролита,
i - плотность тока.
, (12)где p - плотность электролита.
Далее с учетом формул (4) и (5), получим:
, (13)где p - плотность заданного электролита, c - концентрация соли в растворе электролита, i - плотность тока; t - время анодирования алюминия.
На основании этих допущений и зависимостей полученных экспериментальным путем на какой-либо конкретной установке и зная свойства электролита можно судить о любом похожем процессе.
6.1.3 Описание методов оптимизации
Значение эффективных численных методов минимизации функции одной переменной определяется в основном тем, что они входят составной частью во многие методы решения сложных экстремальных задач.
Существует множество различных методов нахождения экстремума функции. Отличаются они по скорости сходимости (количестве итераций необходимых для нахождения оптимума), количестве элементарных действий (необходимо или нет вычислять дополнительные функции, например, производные). Но сказать какой метод лучше или хуже можно только с натяжкой, т.к. это зависит от вида функций, например, метод чисел Фибоначчи считается самым быстрым из одномерных, однако он справедлив только для унимодальных функций. Метод локализации очень зависим от выбора начальной точки и приращения, но он способен локализовать экстремум в отличии от чисел Фибоначчи или "золотого сечения". Методы первого порядка просты в реализации. Для методов второго порядка требуется вычисление вторых производных, что в прикладных задачах или невозможно или сопряжено с большими затратами. Однако такие общие данные не могут служить основанием для оценки качества методов при решении конкретных задач. До настоящего времени нет достаточно обоснованных правил выбора методов решения.
Основной теории сходимости вычислительных методов служит теория устойчивости дискретных систем. В рамках этой теории сходимость многих модификаций (например, методов ньютоновского типа, квазиньютонофского методов первого и нулевого порядка) можно трактовать как сохранение свойства устойчивости при возмущении дискретных систем.
Важной особенность является то, что почти все эти методы находят локальный минимум на каком-либо отрезке, глобальный можно найти только методом перебора или аналитически, при реализации с помощью вычислительной техники второй способ не подходит.
Выбор метода для минимизации конкретной функции зависит от многих причин. Общая рекомендация состоит в том, что первые итерации строить методами нулевого или первого порядка, а затем в случае необходимости перейти к методам второго порядка. Метод сопряженных градиентов, будучи методом первого порядка, по объему итераций на итераций мало отличается от градиентных методов, но обладает сверхлинейной сходимостью. Следует однако, отметить его большую чувствительность к ошибкам округления. Методы второго порядка накладывают ограничение на функцию, необходимо чтобы она была дважды диффиринцируема и эта производная была положительна. Поэтому для нахождения минимума реализуем метод двумерной оптимизации - покоординатным спуском и сканированием, а одномерной - метод "золотого сечения" и метод сканирования. Покажем как функционируют эти методы.
Метод сканирования самый простой в реализации, но он единственный который ищет глобальный экстремум. Этот метод заключается, при заданных значениях точности и границах, перебором всех значений переменных и из всех вычисленных значений выбирается лучший.
Метод покоординатного спуска заключается в нахождении экстремума поочередно по каждой переменной.
Пусть задана функция двух переменных, линии равного уровня которой изображены на рисунке 6.2.
Рисунок 6.2 - Метод покоординатного спуска
Из некоторой начальной точки Х0= (х1, х2) производится поиск минимума вдоль направления оси х1 с получением точки Х0. В этой точке касательная к линии равного уровня параллельна оси х1. Затем из точки Х0 производится поиск минимума вдоль направления оси х2 с получением точки Х1. Следующие итерации выполняются аналогично. Для минимизации функции F (x) вдоль осевых направлений может быть использован любой из методов одномерной оптимизации.