Петровский выделил и изучил классы эллиптических, гиперболических и параболических систем уравнений с частными производными, изучил задачи с начальными условиями для параболических и гиперболических систем в 1936-м году, установил аналитичность решений эллиптических систем в 1937-м году. Работы Петровского, созданные в это время, актуальны и поныне. Специалисты отмечают, что “несмотря на “чисто математический” характер основных работ Петровского, в них по существу проявляется его взгляд на математику как на неотъемлемую часть естествознания, на которой основываются вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе”.
К основным исследованиям по условиям существованию и корректности задачи Коши в 1943-1945-х годах Петровский присоединил глубокие исследования о зависимости решения от начальных данных. Иногда этот вопрос называют задачей о лакунах. Этот метод, хотя и созданный Петровским в ходе теоретических изысканий, получил широкое практическое применение. Пользуясь своими открытиями, Петровский сам решал специальные задачи математической физики, как, например, задача о распространении волн Рэлея.
Учитывая научные и педагогические заслуги Петровского, в 1933-м году он был назначен профессором Московского университета. Надо сказать, что это весьма примечательный факт – человек в возрасте всего тридцати двух лет, шесть лет назад закончивший университет, становится профессором этого университета. В истории науки найдется очень немного подобных примеров, особенно учитывая, что Петровский стал профессором всемирно известного и главного в России университета. В 1935-м году утвержден без защиты диссертации доктором физико-математических наук. В 1939-м году Петровский стал деканом механико-математического факультета МГУ. Петровский не оставлял работу и в самое трудное для страны время, то есть в годы Великой Отечественной войны. Он прилагал все усилия к тому, чтобы не допустить развала университета, пытался сохранить кадры и продолжать подготовку высококвалифицированных специалистов, которые особенно были нужны в годы войны, соединяя принципиальную твердость в отстаивании интересов порученного ему дела с широким человеческим вниманием к проблемам членов факультетского коллектива.
Вся научная деятельность Петровского была связана с Академией Наук СССР. В 1943-м году Петровский был избран членом-корреспондентом, а в 1946-м году - действительным членом Академии Наук СССР, в 1949-1951-х годах занимал должность академика-секретаря Отделения физико-математических наук, с 1953-го года являлся членом Президиума Академии наук. В течение ряда лет он занимал пост заместителя директора Математического института имени академика В. А. Стеклова, после чего был избран академиком-секретарем физико-математического отделения Академии наук, являлся главным редактором двух ведущих математических журналов – “Математический сборник” и “Труды” Математического института им. В. А. Стеклова.
Педагогическая деятельность Петровского проявилась в его работе на механико-математическом факультете Московского Университета. С 1951-го года Петровский заведовал кафедрой дифференциальных уравнений мехмата. Петровский был талантливым педагогом: как отмечает академик А. Н. Колмогоров “его научные семинары всегда были центрами живой научной мысли”, а их участники стали руководителями математических школ и направлений, по его учебникам обучаются студенты многих поколений.
Даже когда Петровский стал ректором, он не переставал читать лекции. Как сообщают свидетели, его лекции всегда были отмечены четким и изящным объяснением материала, готовностью лектора донести самую суть предмета. Вспоминает академик Н. Н. Моисеев о семинаре Петровского – Соболева - Тихонова: “На том заседании, на котором мне довелось присутствовать, произошел эпизод, как мне сказали, достаточно характерный для того семинара. Докладчик доказывал нечто мудрёное. Как мне казалось, в аудитории никто ничего не понимал. Когда теорема была доказана, воцарилось неловкое молчание. Его нарушил академик Петровский: “Я не могу понять, почему” - и он сформулировал вопрос. Ему ответил академик Соболев, по-моему больше ради того, чтобы поддержать докладчика: “Ну как же, Иван Георгиевич” - он вышел к доске и повторил схему доказательства. Потом теорему понял, кажется, Тихонов. Во всяком случае, он её положительно прокомментировал. Дальше началось уже нечто комичное. Вроде бы весь семинар, кроме Петровского (и, конечно, меня) всё уже понял и присутствующие начали хором объяснять Петровскому, в чем суть дела и как это всё просто! И вообще - есть ли здесь что-либо такое, что трудно понимать? Но Петровский упорно продолжал не понимать. Наконец, что-то невнятно говоря, пожимая плечами и как бы стесняясь своего непонимания, Петровский вышел к доске и... построил пример, показывающий, что теорема элементарно неверна”.
Петровский написал учебники по трем основным курсам, прочитанным им на мехмате: обыкновенным дифференциальным уравнениям, интегральным уравнениям, уравнениям с частными производными. Как отмечают академики П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, “эти книги, небольшие по объему, написаны под влиянием новых идей и концепций, характерных для московской математической школы”. Также в составе сборника “Избранные труды” в 1987 году вышли “Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия” и “Дифференциальные уравнения теории вероятности”. Книги Петровского оказали огромное влияние на преподавание этих предметов в нашей стране и за рубежом. Они много раз переиздавались и переведены на разные языки мира. Для многих математиков изучение этих книг положило начало их научным исследованиям, в особенности это относится к книге по уравнениям с частными производными, в которой уделяется внимание также и нерешенным проблемам. Книги Петровского стали настольными для всех, занимающихся дифференциальными уравнениями.” Как пишет академик О. Белоцерковский о “Кратком курсе дифференциальных уравнений”, “книжка ... представляет собой образец, шедевр ясного изложения математики”. За эти учебники в 1952-м году Петровский был удостоен Государственной премии.
Особо нужно отметить деятельность Петровского на посту ректора Московского Университета, куда он был избран в 1951-м году. Петровский “... начал свою работу на посту ректора, когда строительство МГУ на Ленинских горах было в разгаре и еще около трех лет оставалось до переезда в новые здания. Одно строительство, осуществляемое небывалыми темпами, требовало огромного и постоянного внимания. Кадровые вопросы ... требовательно ставились в порядок дня. И все это на фоне текущей учебно-научной жизни, которая должна была идти бесперебойно и которая одна способна загрузить ректора полностью” - это опять академики П. С. Александров и А. Н. Колмогоров. И действительно, эта работа была поистине подвижничеством.
Обращая внимание на проблемы довузовского образования, Петровский был одним из инициаторов организации курсов повышения квалификации для учителей средних школ, учреждения заочной математической школы и школы-интерната при МГУ.
Летопись Московского университета времен Петровского последовательно зафиксировала пульс головного вуза страны: находки первых берестяных грамот Новгородской археологической экспедицией, создание факультета журналистики, организация подготовительного факультета для иностранных граждан, организация при механико-математическом факультете Научно-исследовательского института механики, организация в г. Дубне при Объединенном институте ядерных исследований филиала Московского университета, начало выборов деканов факультетов, начало работы факультета психологии, открытие Музея землеведения, первые отряды студентов на уборке целинного урожая в Казахстане, вступление Московского университета в Международную ассоциацию университетов при ЮНЕСКО, создание факультета повышения квалификации преподавателей вузов и многое другое. При участии Ивана Георгиевича были открыты первая в нашей стране кафедра вычислительной математики, а позже и факультет вычислительной математики и кибернетики, и один из первых вычислительных центров.
Петровский принимал участие в создании физико-технического факультета МГУ сразу после Великой Отечественной войны, читал на нем курс дифференциальных уравнений в то время, когда аудитории практически не отапливались, не было бумаги на учебники и тетрадки. Но физтех выжил и превратился в отдельный институт.
За 22 года пребывания Петровского во главе первого вуза страны (а это самый протяженный срок ректорства в истории Московского университета) его деятельность глубоко отразилась на всей жизни многотысячного коллектива. Было организовано более 70 кафедр и 200 лабораторий по новейшим направлениям. Обладая высоким научным авторитетом, ректор смог привлечь к работе в университете крупнейших ученых страны (в том числе более ста членов Академии Наук СССР). Осуществлялись мероприятия по сосредоточению основной научной работы на кафедрах. Университет вышел на первое место по числу аспирантов. Факультеты и институты получили новейшее экспериментальное оборудование. Много было сделано Петровским для расширения контактов с крупнейшими научными и образовательными центрами мира. История российских университетов знает еще лишь один пример такой бурной деятельности – это пребывание на посту ректора Казанского университета Николая Ивановича Лобачевского.