10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або Æ:
- одна пряма буде у випадку, коли три площини α, β, γ мають спільну пряму a. Шуканим геометричним місцем точок є пряма a;
- якщо дві площини α, β паралельні, а третя γ їх перетинає, то шукане геометричне місце точок, рівновіддалених від цих площин, є дві прямі a і b, паралельні до них, які утворюються у перетині бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: a, g ; b, g і належать площині d, рівновіддаленій від площин a і b;
- якщо площини α, β, γ попарно перетинаються по паралельним прямим, то геометричне місце точок рівновіддалених від цих площин, є чотири прямі a, b, c, d, паралельні до ліній їх перетину (мал. 7), які є перетином бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: a, b ; a, g ; b, g ;
- у випадку, коли площини α, β, γ перетинаються в одній точці, шуканим геометричним місцем будуть чотири прямі, що проходять через точку перетину даних площин і належать бісекторним площинам двогранних кутів, утворених попарно даними площинами;
- порожня множина буде у випадку, коли площини α, β, γ паралельні між собою.
Розглянемо порівняння кривих другого порядку і деяких поверхонь обертання як геометричних місць точок, що мають одну і ту ж властивість на площині і в просторі.
| На площині | У просторі |
| 1 | 2 |
| 11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом a, є два сегменти, що містять даний кут a і спираються на даний відрізок АВ без точок А, В.13. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані між F1 і F2,називається еліпсом.14. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, менша відстані між F1 і F2,називається гіперболою.15. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходить через точку F, називається параболою.16. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є перпендикуляр до відрізка АВ в точці D, віддалений від середини О відрізка АВ = aна відстань .17. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і радіусом r = . | 11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом a, є торова поверхня, одержана від обертання сегмента, що містить даний кут a і спирається на даний відрізок АВ, навколо прямої АВ без точок А, В.13. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсоїдом обертання.14. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання.15. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини a, яка не проходить через точку F, називається параболоїдом обертання.16. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є площина, перпендикулярна до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини О відрізка АВ = a на відстань .17. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і радіусом r = . |
Слід відмітити, що між формою геометричного місця точок на площині і в просторі у більшості випадків існує зв’язок, наведений у таблиці.
| На площині | У просторі |
| ТочкаПрямаДві паралельні пряміКоло | ПрямаПлощина Циліндрична поверхняСфера |
Нехай, наприклад, потрібно знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих, що містять сторони трикутника. На площині таких точок чотири (центри вписаного і зовні вписаних кіл).
Таблиця показує, що в просторі шукане геометричне місце точок є чотири прямі, причому ці прямі проходять через названі центри перпендикулярно до площини трикутника.
Зрозуміло, що встановивши форму геометричного місця точок на площині, за допомогою таблиці можна “прикинути”, яку форму має це геометричне місце точок у просторі. Потім обгрунтувати результати і одночасно уточнити розташування шуканого геометричного місця точок відносно даних точок і ліній.
Але не слід думати, що зроблена на основі таблиці прикидка завжди вірна. Таблиця не встановлює взаємно однозначної відповідності між формою геометричного місця на площині і в просторі, бо такої відповідності, взагалі кажучи, не існує. Є такі геометричні місця точок, які не змінюють форму в залежності від того, розглядаємо ми їх на площині чи в просторі. Наприклад, геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних паралельних прямих мінімальна. У будь-якому випадку умові відповідають всі точки смуги площини, обмеженої даними прямими.
Порівнюючи геометричні місця точок, що відповідають певній умові, на площині і в просторі, бачимо, що між ними є схожість, але є й багато суттєвих відмінностей.
Геометричні місця точок у просторі можуть мати одну, дві чи більше властивостей. Якщо геометричне місце точок визначається однією умовою, що виражається рівністю, то воно є деяка поверхня, а коли ця умова виражається нерівністю, то маємо геометричне тіло.
Якщо геометричне місце визначається двома (трьома) рівностями, то воно складається з точок ліній, які є спільними для двох (трьох) поверхонь.
Іноді геометричне місце може містити в собі всі точки простору. Таким є, наприклад, геометричне місце прямих, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А та В. Будь-яка пряма, паралельна АВ, або та, що проходить через середину відрізка АВ, рівновіддалена від точок А та В. Множина таких прямих заповнює весь простір.
Ми розглядатимемо геометричні місця точок, які визначаються рівностями, тобто вони будуть певними поверхнями.
Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді
Виберемо прямокутну декартову систему координат на площині (0, i, j) і в просторі (0, i, j, k) і розглянемо порівняльну характеристику геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді.
| 18. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма. | 18. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у,z,є площина. |
Наведемо з аналітичної геометрії приклади аналогічних рівнянь прямої в (0, i, j) і площини в (0, i, j, k).
| 1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 і вектором нормалі na(x-x0) + b(y – y0) = 0,де M0(x0; y0) l, n(a; b) l.2). Загальне рівняння прямоїaх + bу +c = 0,де n(a; b) – вектор нормалі прямої.3). Рівняння прямої “у відрізках на осях”: + = 1, де А(а;0), В(0;b) - точки перетину прямої з осями координат.4). Нормальне рівняння прямоїxcosα + ysinα-p = 0,де р – відстань від початку координат до прямої,n0(cosα, sіnα) – одиничний вектор нормалі прямої.19. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння + =1, є еліпс.20. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння -=1, є гіпербола.21. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння -=-1, є гіпербола.22. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння у2 = 2рх, є парабола. | 1). Рівняння площини, заданої точкою М0 і вектором нормалі na(x-x0) + b(y – y0) + c (z – z0) = 0,де M0(x0; y0; z0) , n(a; b, c) .2). Загальне рівняння площиниaх + bу +сz + d= 0,де n(a;b;c) – вектор нормалі площини.3). Рівняння площини “у відрізках на осях”: + + = 1, де А(а;0;0), В(0;b;0), С(0;0;с) -точки перетину площини з осями координат.4). Нормальне рівняння площиниxcos + ycosβ + zcosγ-p = 0,де р – відстань від початку координат до площини,n0(cosα, cosβ, cosγ) – одиничний вектор нормалі площини.19. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння++=1, є еліпсоїд.20. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння -+=-1, є двопорожнинний гіперболоїд.21. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння -+=1, є однопорожнинний гіперболоїд.22. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння + = 2ру, є еліптичний параболоїд. |
Цікавим є порівняння геометричних фігур на площині і в просторі, рівняння яких у системах координат (0, i, j), (0, i, j, k) автентичні.