Классификация сейсмических сигналов на основе нейросетевых технологий (стр. 5 из 13)

Итак, в p-мерном пространстве задана обучающая выборка x¹,…,xⁿ (первый класс) и y¹,…,y^m (второй класс). Требуется найти такие p+1-мерный вектор w, что для всех i=1,…,n и j=1,…,m w₀+(xⁱ,w)>0 и w₀+(y^j,w)<0.

Переформулируем задачу, сведя ее к отделению нуля от конечного множества векторов в p+1 - мерном пространстве. Для этого рассмотрим p+1 – мерные векторы z^l (l=0, 1,…., n+m):

В этих обозначениях условия разделения превращаются в систему n+m однотипных неравенств:

В качестве нулевого приближения можно выбрать любой вектор w, например, w=0, или wÍR[-0.5,0.5]. Цикл алгоритма состоит в том, что для всех l = 1,…,n+m проверяется неравенство (z^l,w) > 0. Если для данного l £ n+m оно выполнено, переходим к следующем l (либо при l=n+m заканчиваем цикл), если же не выполнено, то модифицируем w по правилу w=w+z^l , или w=w+h_Tz^l, где T – номер модификации, а

, например.

Когда за весь цикл нет ни одной ошибки ( т.е. модификации w), то решение w найдено, в случае же ошибок полагаем l=1 и снова проходим цикл.

В некоторых простейших случаях линейный дискриминатор – наилучший из возможных, а именно когда оба класса можно точно разделить одной гиперплоскостью, рисунок 4.2 демонстрирует эту ситуацию для плоскости, когда p=2.

4.2 Многослойный персептрон.

Возможности линейного дискриминатора весьма ограничены. Для решения более сложных классификационных задач необходимо усложнить сеть вводя дополнительные (скрытые) слои нейронов, производящих промежуточную предобработку входных данных, таким образом, чтобы выходной нейрон-классификатор получал на свои входы уже линейно-разделимые множества. Такие структуры носят название многослойные персептроны [1-4,7,10] (рис. 1.3).

Легко показать, что, в принципе, всегда можно обойтись одним скрытым слоем, содержащим, достаточно большое число нейронов. Действительно, увеличение скрытого слоя повышает размерность пространства, в котором выходной нейрон производит классификацию, что, соответственно, облегчает его задачу.

Персептроны весьма популярны в нейроинформатике. И это обусловлено, в первую очередь, широким кругом доступных им задач, в том числе и задач классификации, распознавания образов, фильтрации шумов, предсказание временных рядов, и т.д., причем применение именно этой архитектуры в ряде случаев вполне оправдано, с точки зрения эффективности решения задачи.

Рассмотрим какие алгоритмы обучения многослойных сетей разработаны и применяются в настоящее время.[7,10]. В основном все алгоритмы можно разбить на две категории:

· Градиентные алгоритмы;

· Стохастические алгоритмы.

К первой группе относятся те, которые основаны на вычислении производной функции ошибки и корректировке весов в соответствии со значением найденной производной. Каждый дальнейший шаг направлен в сторону антиградиента функции ошибки. Основу всех этих алгоритмов составляет хорошо известный алгоритм обратного распространения ошибки (back propagation error).[1-5,7,10].

,где функция ошибки

Многочисленные модификации, разработанные в последнее время, позволяют существенно повысить эффективность этого алгоритма. Из них наиболее известными являются:

1. Обучение с моментом.[4,7]. Идея метода заключается в добавлении к величине коррекции веса значения пропорционального величине предыдущего изменения этого же весового коэффициента.

2. Автономный градиентный алгоритм (Обучение с автоматическим изменением длины шага h). [10]

3. RPROP (от resilient –эластичный), в котором каждый вес имеет свой адаптивно настраиваемый темп обучения.[4]

4. Методы второго порядка, которые используют не только информацию о градиенте функции ошибки, но и информацию о вторых производных .[3,4,7].

Стохастические методы обучения выполняют псевдослучайные изменения величин весов, сохраняя те изменения, которые ведут к улучшениям характеристик сети. К этой группе алгоритмов относятся такие как

1. Алгоритм поиска в случайном направлении.[10]

2. Больцмановское обучение или (алгоритм имитации отжига). [1]

3. Обучение Коши, как дополнение к Больцмановскому обучению.[1]

Основным недостатком этой группы алгоритмов является очень долгое время обучения, а соответственно и большие вычислительные затраты. Однако, как пишут в различных источниках, эти алгоритмы обеспечивают глобальную оптимизацию, в то время как градиентные методы в большинстве случаев позволяют найти только локальные минимумы функционала ошибки.

Известны также алгоритмы, которые основаны на совместном использовании обратного распространения и обучения Коши. Коррекция весов в таком комбинированном алгоритме состоит из двух компонент: направленной компоненты, вычисляемой с использованием алгоритма обратного распространения, и случайной компоненты, определяемой распределением Коши. Однако, несмотря на хорошие результаты, эти методы еще плохо исследованы.

4.3 Сети Ворда.

Одним из вариантов многослойного персептрона являются нейронные сети Ворда. Они способны выделять различные свойства в данных, благодаря наличию в скрытом слое нескольких блоков, каждый из которых имеет свою передаточную функцию (рис.4.4). Передаточные функции (обычно сигмоидного типа) служат для преобразования внутренней активности нейрона. Когда в разных блоках скрытого слоя используются разные передаточные функции, нейросеть оказывается способной выявлять новые свойства в предъявляемом образе. Для настройки весовых коэффициентов используются те же алгоритмы, о которых говорилось в предыдущем разделе.

4.2 Сети Кохонена.

Сети Кохонена – это одна из разновидностей нейронных сетей, для настройки которой используется алгоритм обучения без учителя. Задачей нейросети Кохонена является построение отображения набора входных векторов высокой размерности на карту кластеров меньшей размерности , причем таким образом, что близким кластерам на карте отвечают близкие друг к другу входные векторы в исходном пространстве.

Сеть состоит из M нейронов, образующих, как правило одномерную или двумерную карту (рис. 4.2). Элементы входных сигналов {x_i} подаются на входы всех нейронов сети. В процессе функционирования (самоорганизации) на выходе слоя Кохонена формируются кластеры (группа активных нейронов определённой размерности, выход которых отличен от нуля), характеризующие определённые категории входных векторов (группы входных векторов, соответствующие одной входной ситуации). [9]

Алгоритм Кохонена формирования карт признаков.

Шаг 1. Инициализировать веса случайными значениями. Задать размер окрестности s(0), и скорость h(0) и t_max.

Шаг 2. Задать значения входных сигналов (x₁,…,x_p).

Шаг 3. Вычислить расстояние до всех нейронов сети. Расстояния d_k от входного сигнала x до каждого нейрона k определяется по формуле:

где

x_i - i-ый элемент входного сигнала,

w_ki - вес связи от i-го элемента входного сигнала к нейрону k.

Шаг 4. Найти нейрон – победитель, т.е. найти нейрон j, для которого расстояние d_j наименьшее:

j:d_j < d_k"k¹p

Шаг 5. Подстроить веса победителей и его соседей.

Шаг 6. Обновить размер окрестности s(t) и скорость h(t)

s(t)=s(0)(1-t/t_max) h(t)=h(0)(1-t/t_max)

Шаг 7. Если (t < t_max), то Шаг 2, иначе СТОП.

Благодаря своим способностям к обобщению информации, карты Кохонена являются удобным инструментом для наглядного представления о структуре данных в многомерном входном пространстве, геометрию которого представить практически невозможно.

Сети встречного распространения.

Еще одна группа технических применений связана с предобработкой данных. Карта Кохонена группирует близкие входные сигналы Х, а требуемая функция Y = G(X) строится на основе обычной нейросети прямого распространения (например многослойного персептрона или линейной звезды Гроссберга[1]) к выходам нейронов Кохонена. Такая гибридная архитектура была предложена Р. Хехт-Нильсеном и имеет название сети встречного распространения[1-3,7,9]. Нейроны слоя Кохонена обучаются без учителя, на основе самоорганизации, а нейроны распознающих слоев адаптируются с учителем итерационными методами. Пример такой структуры для решения задачи классификации сейсмических сигналов приведен на рис. 4.5.