Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов (стр. 4 из 5)
А(1)=
>0.(-1)4A(-1)=
>0. 
.Обратный полином:
.Разделим A(z) на A0(z).
| 0.78-3.326z+5.3001z2-3.756z3+ z4 | 1-3.7556z+5.3001z2-3.32z3+0.7834z4 |
| -(0.78-2.943z+4.152z2-2.606z3+0.61z4) | 0,783447=q0, |q0|<1 |
-0,383z+1.147z2-1.1506z3+0,3861 z4
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A1(z)= -0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3,
A10(z)=-0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3.
Разделим A1(z) на A10(z).
| -0,383+1.147z-1.1506z2 +0,3861 z3 | -0,361+1.1506z-1.147z2 +0,383 z3 |
| -(-0,383+1.141z-1.138z2 +0,3801 z3) | -0,992116=q1, |q1|<1 |
0,006046z-0,01207z2+0,00605z3
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A2(z)= 0,006046z-0,01207z2+0,00605z3,
A20(z)=0,00605-0,005474z2-0,006046z3.
Разделим A2(z) на A20(z).
| 0,006046z-0,01207z2+0,00605z3 | 0,00605-0,005474z2-0,006046z3 |
| -(0,006046z-0,01207z2+0,00603z3) | 0,99774=q2, |q2|<1 |
-0,000027278z+0,000027353z2
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A3(z) = -0,000027278z+0,000027353z2
В результате расчетов получили, чтоq0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.
Система с ПИД-регулятором.
Характеристический полином имеет вид:
Степень полинома n=5. Множество qi= {q0, q1, q2, q3}.
А(1)=
>0.(-1)5A(-1)=
>0. 
,Обратный полином:
.Разделим A(z) на A0(z).
 |  |
 | 0,01589163=q0, |q0|<1 |
0,7347z-3,1644z2+5,102835z3-3,6802818z4+0,999747z5
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A1(z)= 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4,
A10(z)= 0.99974 -3,680218z+5,1028z2-3,1644z3+0,7347z4.
Разделим A1(z) на A10(z).
| 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4 | 0,7347-3,1644z+5,102835z2-3,6802818z3+0,999747z4 |
| -(0,7347-2.704z+3.750z2-2.3256z3+0.53999z4) | 0,734938361=q1, |q1|<1 |
-0,4596z+1,3255z2-1,3545z3+0,4597z4
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A2(z)= -0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3,
A20(z)= -0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3.
Разделим A2(z) на A20(z).
| -0,4596+1,3255z-1,3545z2+0,4597z3 | -0,4597+1,3545z-1,3255z2+0,4596z3 |
| -0,4596-1,3244z+1,3525z2+0,4595z3 | -0,99986442=q2, |q2|<1 |
-0,0288981z-0,02926z2+0,91927z3
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A3(z)=-0,0288981-0,02926z+0,91927z2,
A30(z)= 0,91927-0,02926z-0,02889881z2.
Разделим A3(z) на A30(z).
| -0,0288981-0,02926z+0,91927z2 | 0,91927-0,02926z-0,02889881z2 |
| 0,0288981-0,0009198z+0,0.028898z2 | 0,0314359=q2, |q2|<1 |
-0,0305301z+1.028762z2
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A4(z)=-0,0305301+1.028762z.
В результате расчетов получили, чтоq0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.
После того, как определили устойчивость системы по критерию Джури, необходимо построить переходный процессы в замкнутых цифровых системах.
Для построения переходных процессов в замкнутых цифровых системах воспользуемся обратным z-преобразованием.
Eсли функция имеет m-полюсов zk={z1, z2,…, zn} , то:
, (4.13)где A(zk) – числитель функции W3(z);
B’(zk) – производная знаменателя функции W3(z);
Замкнутая система с П – регулятором.
Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с П-регулятором имеет вид:
Переходная функция замкнутой системы равна:
.Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.Полюся функции:
z1 = 1;
z2 = 0,8422;
z3 = 0,954 – j0,313;
z4= 0,954 – j0,313.
Производная знаменателя функции:
B’(z) = -11.25z2+10.574z-3.317+4z3.
Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для :
где a = z1;
b = z2;
c = z3;
d = z4;
Изобразим переходый процесс на рисунке 4.2
Рисунок 4.2 - Переходный процесс в системе с П – регулятором
Замкнутая система с ПИ – регулятором.
Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид:
;.Переходная функция замкнутой системы равна:
.Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.Полюся функции:
z1 = 1;
z2 = 0.847;
z3 = 0.965;
z4 = 0.973 – j0.0113;
z5= 0.973 + j0.0113.
Производная знаменателя функции:
B’(z) = 5z4-19.027z3+27.171 z2-17.253z+4.110
Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:
где а = z1;
b = z2;
c = z3;
d = z4;
e = z5;
Изобразим переходый процесс на рисунке 4.3
Рисунок 4.3 - Переходный процесс в системе с ПИ – регулятором
Замкнутая система с ПИД – регулятором.
Передаточная функция для цифровой замкнутой системы с ПИД-регулятором имеет вид:
.Переходная функция замкнутой системы равна:
.Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.Полюся функции:
z1 = 1;
z2 = -0,021;
z3 = 0,84;
z4 = 0,935-j0,171;
z5= 0,935+j0,171;
z6=0,98.
Производная знаменателя функции:
B’(z) = 6z5-23.347 z4+34.893 z3-24.39 z2+7.505z-0.660
Подставим значение полюсов функции и значение производной в формулу (4.13), получим выражение для f[n]:
где а = z1;
b = z2;
c = z3;
d = z4;
e = z5;
f = z6.
Изобразим переходый процесс на рисунке 4.4
Рисунок 4.4 - Переходный процесс в системе с ПИД – регулятором.
5 Расчет цифрового фильтра
Для расчета цифрового фильтра, переводящего линейную часть из начального в конечное состояние за минимальное число периодов квантования и обеспечивающего ограничение на заданное управляющие воздействие, необходимо вычислить минимально возможный период квантования, но чтобы было удовлетворено условие:
|Um – q0|£0,05, (5.1)
где Um = 1,0.
Вычисление значения q0 следует начать с определения значений коэффициентов числителя Z-передаточной функции приведенной непрерывной части для принятого периода дискретности. Пусть Z-передаточная функция приведенной непрерывной части представима в виде:
. (5.2)Тогда Z-передаточная функция оптимального по быстродействию цифрового фильтра Wф(z) имеет вид:
, (5.3)