где pi = biq0, i = 1,2,…,m;
qi = aiq0, i = 1,2,…,m;
.Воспользуясь формулой (4.7) для Wнч(z) . Находим функции bi, аi и Т0.
Для коэффициентов biимеем:
; (5.4) ;(5.5) . (5.6)Для коэффициентов аiимеем:
; (5.7) ; (5.8) . (5.9)Найдем выражение для q0:
. (5.10)Определим Т0 при котором выполняется условие (5.1), для этого построим график зависимости и изибразим его на следующем рисунке 5.1.
Рисунок 5.1 – График зависимости |Um – q0(Т0)|
При построении графика видим, что Т0 = 4,61 , q0(Т0) = 1,002.
Определим коэффициенты , подставив найденное значение Т0 в выражение (5.4) и (5.5):
b1(Т0) = 0,718;
b2(Т0) = 0,332;
b3(Т0) = -0,052;
a1(Т0) = -0,932;
a2(Т0) = 0,281;
a3(Т0) = -0,027;
Подставляя найденные значения в выражения (5.2) и (5.3) определим передаточные функции приведенной непрерывной части и цифрового фильтра.
. (5.7) . (5.8)Находим Z – передаточную функцию для разомкнутой цифровой системы по формуле:
Wp(z) = Wн.ч.(z) * Wф(z). (5.9)
Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – управляюшее воздействие по формуле:
, (5.10)Определим Z – преобразованную функцию замкнутой системы по каналу задание – выходной сигнал по формуле:
, (5.10)Пусть f – функция определяющая зависимость между q0от Т0, т.е. q0=f(Т0), тогда f –1 – обратная ей функция, т.е. Т0=f –1(q0). Для того, чтобы найти период квантования необходимо минимизироватьфункцию
Т0=f –1(q0) с учетом условия (5.1).
Так как в явном виде функцию Т0=f –1(q0) вывести сложно, но из графика видно, что она монотонно убывает, следовательно минимум на отрезкеq0 Î[3,45; 3,55] будет при q0=3,55.
Расчет Т0 сводится к решению уравнения
. (5.11)Для решения данного уравнения воспользуемся алгоритмом поиска корня уравнения методом дихотомии. После решения уравнения мы получили, что
Т0 =1,25.
Подставляя значение Т0 =1,25 в выражения (5.4)-(5.9) найдем коэффициенты Z-передаточной функций приведенной непрерывной части.
Тогда
. (5.12)При этом q0 =3,540075. Согласно формуле (5.3)
. (5.13)Найдем Z-передаточную функцию разомкнутой цифровой системы. Она равна Wр(z)=Wнч(z)*Wф(z) и равна
. (5.14)Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – управляющие воздействие равна
(5.15)и равна
.Z-передаточная функция замкнутой цифровой системы по каналу задание – выходная величина равна
(5.16)и равна
.Вычислим коэффициенты усиления по указанным каналам. По определению коэффициент усиления есть отношение изменения на выходе к изменению на входе в установившемся режиме, т.е.
. (5.17)Так как
, (5.18)то подставляя выражения (5.15) и (5.16) в выражение (5.17) найдем, чтоj(¥)=1, а m(¥)=0,4. Так как Dx(¥)=1, а j(0-)=0 иm(0-)=0, то коэффициент усиления по каналу задание – выходная величина равен 1, а по каналу задание – управляющие воздействие равен 0,4.
Построим переходную функцию цифрового фильтра. Она равна
.Для вычисления f[n] найдем полюса функции
.Находим 2 полюса 1-го порядка и 1 полюс 2-го порядка. Полюса
1-го порядка: z=-0,307 и z=-0,045. Полюс 2-го z=1. Для вычисления переходной функции необходимо вычислить производную следующей функции
Тогда передаточная функция примет вид
.Изобразим переходный процесс на графике.
Для построения переходных процессов в замкнутой цифровой системе по каналам задание – выходная величина и задание – управляющие воздействие воспользуемся уравнениями в конечных разностях.
Суть метода заключается в следующем. Пусть передаточная функция цифровой системы
.Этой передаточной функции соответствует уравнение в конечных разностях:
.Значение искомой выходной величины равно
. (5.19)Согласно формуле (5.19) получим, что переходная функция замкнутой цифровой системе по:
· каналу задание – выходная величина
y[k]=0,647726×x[k-1] –0,620803×x[k-2] –0,037272×x[k-3] +0,149369×x[k-4] –0,024633×x[k-2] –0,001394×x[k-2] +1,481007×y[k-1] –0,695097×y[k-2]+ +0,101098×y[k-3];
· каналу задание – управляющие воздействие
y[k]=3,540075×x[k] –10,485749×x[k-1]+12,686121×x[k-2]–
–8,004397×x[k-3]+2,770507×x[k-4] –0,497542×x[k-5]+0,036182×x[k-6]+ +1,481007×y[k-1] –0,695097×y[k-2]+ +0,101098×y[k-3].
Данные расчетов были сведены в таблицы с учетом того, что x[k]=1.
Таблица 5.1 – Переходная функция замкнутой цифровой системе по каналу задание – выходная величина
k | y[k] |
0 | 0 |
1 | 0,648 |
2 | 0,986 |
3 | 1 |
4 | 1 |
6 Оптимальное управляющие воздействие и реакция на него приведенной непрерывной части
Оптимальное управляющие воздействие было найдено в пункте 5 и в координатах времени имеет следующий вид:
m(t)=3,54(h(t)-h(t-T0)) –1,703(h(t-T0)-h(t-2*T0))+ (6.1)
+0,758(h(t-2*T0)-h(t-3*T0))+0,4 h(t-3*T0),
где
h(t) – функция Хевисайда;
T0 – период квантования равный 1,25.
Тогда
m(t)=3,54(h(t)-h(t-1,25)) –1,703(h(t-1,25)-h(t-2,5))+ (6.2)
+0,758(h(t-2,5)-h(t-3,75))+0,4 h(t-3,75).