При заданных условияха1, а2,…, с учетом неизвестных факторов Y1, y2,... найти такие элементы решения х1, х2, ..., которые по возможности обращали бы в максимум показатель эффективности W.
Это — уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвестных факторов Y1,Y2, ... переводит нашу задачу в другую категорию' она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.
Давайте будем честны: неопределенность есть неопределенность. Если условия выполнения операции неизвестны, мы не имеем возможности, так же успешно организовать ее, как мы это сделали бы, если бы располагали большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого во вполне определенной ситуации. Наше дело — сообщить своему решению в наибольшей возможной мере черты разумности. Решение, принятое в условиях неопределенности, но на основе математических расчетов, будет все же лучше решения, выбранного наобум. Недаром один из видных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математические методы исследования операций» дает своему предмету следующее ироническое определение:
«Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».
Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречаются нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес чемодана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия а1, а2, ...). Погода в районах путешествия заранее неизвестна (условияY1, Y2, ...). Спрашивается, какие предметы одежды (х1,х2, ...) следует взять с собой?
Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные данные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года). Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны быть предпосланы математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему, в доступной мере, черты разумности.
Применяемые при этом методы существенно зависят от того, какова природа неизвестных факторовY1,Y2,…и какими ориентировочными сведениями о них мы располагаем.
Наиболее простым и благоприятным для расчетов является случай, когда неизвестные факторы Y1,Y2,…представляют собой случайные величины (или же случайные функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.
Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвестны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каждом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти характеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математической статистики.
Аналогично, в каждой военной операции присутствуют случайные факторы, связанные с рассеиванием снарядов, со случайностью моментов обнаружения целей и т. п. В принципе все эти факторы могут быть изучены методами теории вероятностей, и для них могут быть получены законы распределения (или, по крайней мере, числовые характеристики).
В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в операции — Y1,Y2,…. — являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориентировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:
— искусственное сведение к детерминированной схеме;
— «оптимизация в среднем».
Остановимся более подробно на каждом из этих приемов. Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятностная картина явления приближенно заменяется детерминированной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы Y1,Y2,…. приближенно заменяются не случайными (как правило, их математическими ожиданиями).
Этот прием применяется по преимуществу в грубых, ориентировочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1,Y2,…. сравнительно мал, т. е. они без большой натяжки могут рассматриваться как не случайные. Заметим, что тот же прием замены случайных величин их математическими ожиданиями может успешно применяться и в случаях, когда величины Y1,Y2,…. обладают большим разбросом, но показатель эффективностиW зависит от них линейно (или почти линейно).
Второй прием («оптимизация в среднем»), более сложный, применяется, когда случайность величин Y1,Y2,…. весьма существенна и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привести к большим ошибкам.
Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эффективности W существенно зависит от случайных факторов (будем для простоты считать их случайными величинами) Y1,Y2,….; допустим, что нам известно распределение этих факторов, скажем, плотность распределения f (Y1,Y2,…). Предположим, что операция выполняется много раз, причем условия Y1,Y2,… меняются от раза к разу случайным образом. Какое решение х1, х2,... следует выбрать? Очевидно, то, при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е. математическое ожидание показателя эффективности W будет максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решениеX1,Х2, ... , при котором обращается в максимум математическое ожидание показателя эффективности:
W=M[W}==
== …. W(a1, a2,…; y1,y2,…; x1,x2…) (y1,y2,...) dy1dy2….
Такую оптимизацию мы будем называть «оптимизацией в среднем».
А как же с элементом неопределенности? Конечно, в какой-то мере он сохраняется. Успешность каждой отдельной операции, осуществляемой при случайных, заранее неизвестных значениях Y1,Y2,… может сильно отличаться от ожидаемой средней, как в большую, так, к сожалению, и в меньшую сторону. При многократном осуществлении операции эти различия, в среднем, сглаживаются; однако, нередко данный способ оптимизации решения, за неимением лучшего, применяется и тогда, когда операция осуществляется всего несколько раз или даже один раз. Тогда надо считаться с возможностью неприятных неожиданностей в каждом отдельном случае. Утешением нам может служить мысль о том, что «оптимизация в среднем» все же лучше, чем выбор решения без всяких обоснований. Применяя этот прием к многочисленным (хотя бы и различным) операциям, все же мы в среднем выигрываем больше, чем если бы совсем не пользовались расчетом.
Для того, чтобы составить себе представление о том, чем мы рискуем в каждом отдельном случае, желательно, кроме математического ожидания показателя эффективности, оценивать также и его дисперсию (или среднее квадратическое отклонение).
Наиболее трудным для исследования является тот случай неопределенности, когда неизвестные факторы Y1,Y2,… не могут быть изучены и описаны с помощью статистических методов: их законы распределения или не могут быть получены (соответствующие статистические данные отсутствуют), или, что еще хуже, таких законов распределения вовсе не существует. Это бывает, когда явление, о котором идет речь, не обладает свойством статистической устойчивости. Например, мы знаем, что на Марсе возможно наличие органической жизни, и некоторые ученые даже считают его весьма вероятным, но совершенно невозможно подсчитать эту вероятность на основе каких-либо статистических данных. Другой пример: предположим, что эффективность проектируемого вооружения сильно зависит от того, будет ли предполагаемый противник к моменту начала боевых действий располагать средствами защиты, и если да, то какими именно? Очевидно, нет никакой возможности подсчитать вероятности этих гипотез — самое большее, их можно назначить произвольно, что сильно повредит объективности исследования.
В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с дальнейшей «оптимизацией в среднем», рекомендуется рассмотреть весь диапазон возможных условий Y1,Y2,…и составить представление о том, какова эффективность операции в этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия. При этом задача исследования операций приобретает новые методологические особенности.
Действительно, рассмотрим случай, когда эффективность операцииW зависит, помимо заданных условий а1,a2, ... и элементов решения х1,х2,…, еще и от ряда неизвестных факторов Y1,Y2,… нестатистической природы, о которых никаких определенных сведений нет, а можно делать только предположения. Попробуем все же решить задачу. Зафиксируем мысленно параметры Y1,Y2,…, придадим им вполне определенные значенияY1=у1,Y2=у2,..., и переведем тем самым в категорию заданных условий а1, а2, .... Для этих условий мы в принципе можем решить задачу исследования операций и найти соответствующее оптимальное решение х1, х2, ... Его элементы, кроме заданных условий а1, а2, ..., очевидно, будут зависеть еще и от того, какие частные значения мы придали условиям Y1,Y2,…: