Факторный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра МО САПР

Использование факторного анализа для построения рейтинга банков.

Курсовая работа

студентов второй группы

третьего курса

факультета прикладной

математики и информатики

Бескоровайного А.А. и

Лейнова В. А.

Научный руководитель:

Ковалев М.М.

Минск, 1997.

Содержание

Введение	3
Методология факторного анализа	4
Описание программы	8
Приложение	9
Формат файлов	9
Таблица исходных данных	9
Факторная матрица	10
Матрица факторного отображения	11
Графическое представление	12

Введение

В факторном анализе предполагается, что наблюдаемые переменные являются линейной комбинацией некоторых латентных (гипотетических или ненаблюдаемых) факторов. Некоторые из этих факторов допускаются общими для двух и более переменных, а другие-- характерными для каждого параметра в отдельности.

Применительно к построению банковских рейтингов реальную картину состояния дает методика, основанная на применении двухфакторного анализа, которая позволяет представить банки точками на плоскости, координатными осями которой являются [построенные] факторы, что особенно удобно для составления динамических рейтингов, когда при анализе состояния системы во времени точки, указывающие на состояние банков, превращаются в диаграммы.

Методология факторного анализа.

Необходимо попытаться наиболее полно проанализировать разнообразные показатели, характеризующие в нашем случае состояние банков. Для этого необходимо свести их к меньшему числу некоторых факторов. Представим каждый рейтинговый показатель z_jкак линейную комбинацию гипотетических факторов:

Z_j=a_j1F₁+a_j2F₂+...+a_jmF_m (j=1,2...n), где

F_i – значение i-го фактора для данной (j-ой) компоненты;

a_ji– вес фактора i в компоненте j;

m – количество факторов;

n – количество показателей.

Можно выделить следующие этапы построения факторной матрицы:

1. Создаем исходную матрицу {{x_ij}} размерности (n _*m), где m – количество характеристик, а n – количество исследуемых банков.

2. Строим корреляционную матрицу R={{r_ij}},

имеющую размерность m _* m:

2.1 Строим ковариационную матрицу: C=X^T_*X/n :

2.2 Строим корреляционную матрицу:

R={{r_ij}},

2.3 На основе построенной корреляционной матрицы строим редуцированную корреляционную матрицу:

3. В методе главных факторов на 1-ом этапе вычислений ищут коэффициенты при первом факторе так, чтобы сумма вкладов в суммарную общность была максимальной

Максимум V₁должен быть обеспечен при условии

Чтобы максимизировать функцию n переменных воспользуемся методом множителей Лагранжа, с помощью которого приходим к выводу, что искомая функция является ничем иным как максимальным собственным значением уравнения

det(R-lE)=0 (2),

где R- редуцированная корреляционная матрица, полученная в пункте 2.

Далее, подставив найденное значение l₁ и получив одно из возможных решений (q₁₁ ,q_{21, ... ,}

q_n1) уравнения (2), являющихся в свою очередь собственным вектором, соответствующим данному собственному значению и, для удовлетворения выражению (1), разделив на корень из суммы их квадратов и умножив на квадратный корень из собственного значения, получим

что представляет собой искомый коэффициент при факторе F₁в факторном отображении пункта 1.

l₁ вычисляется по формуле:

l₁=max{p_1j}, где вектор p=R_*q₁

Вектор q₁ находится при помощи следующего итерационного процесса:

Вычисляем R, R², R⁴,... до тех пор, пока не будет выполняться условие |b⁽ⁱ⁾-b^(i/2)|<e, где b⁽ⁱ⁾вектор, j-ый элемент которого равен частному от деления суммы j-ой строки матрицы Rⁱна максимальную из сумм элементов строк матрицы Rⁱ , а в качестве e берется заранее выбранная точность вычислений. По окончании процесса в качестве вектора q берется вектор a⁽ⁱ⁾.

4.Для определения коэффициентов при втором факторе F₂ необходимо максимизировать функцию

что делается аналогично вычислениям для 1-го фактора, только вместо матрицы R используется матрица

Полученную факторную матрицу F размерности m_*2 вращаем путем умножения на матрицу поворота

,

где a-угол поворота, изменяющийся от 0 до p/2 с шагом p/720.

Окончательный поворот будет произведен на угол, при котором выполнится критерий Варимакс:

Где r — число факторов.

Умножив справа исходную матрицу Х на построенную F_пов, получим окончательную матрицу, показывающую расположение банков в новых координатах (факторах F₁ , F₂).

Описание программы.

Для компьютерной реализации описанного выше метода нами, с помощью среды Delphi 2.0, была создана программа rating, функционирующая под управлением операционной системы Windows-95.

1. После запуска программа предлагает пользователю загрузить исходные данные о состоянии банков за некоторые периоды времени. Исходные файлы хранятся в специальном формате (см. приложение 1).

2. Данные загружаются в таблицы (по годам), где и могут быть просмотрены (см. приложение 2)

В прилагаемом ниже примере исходными данными является файл по состоянию на 1995 код со следующими показателями, характеризующими банки :

a1=Активы

a2=Капитал

a3=Капитал/активы в %

a4=.Вложения в другие банки

a5=Вложения в экономику

a6=Вложения всего

3. По нажатию соответствующей кнопки на панели управления программой, будут построены и отображены матрицы факторного отображения (см приложение 4) ,за каждый из периодов времени. Данные матрицы образуются из факторных матриц, описывающих вклад каждого из показателей в общий фактор (см. приложение 3)

4. По желанию пользователя может быть построен график, показывающий положение банков на факторной плоскости и динамику их развития во времени (см. приложение 5).

Приложение.

1. Формат файлов

Файлы, используемые в нашей программе представляют собой текстовые файлы, в которых в качестве разделителей используются пробелы.

В первом столбце файла хранятся названия обрабатываемых банков, а в первой строке – названия показателей, характеризующих их деятельность.

2. Таблица исходных данных

3. Факторная матрица

Показатель	F1	F2
a1=Активы	0.940	0.264
a2=Капитал	0.949	0.198
a3=Капитал/активы в %	0.829	0.436
a4=Вложения в другие банки	0.602	0.539
a5=Вложенияв экономику	0.834	0.425
a6=Вложения всего	0.922	0.335

4.Матрица факторного отображения

5. Графическое представление

Прямоугольной областью обозначается положение банка на факторной плоскости по состоянию на 1995 год, а круглой областью такого же цвета обозначается положение того же банка по состоянию на 1996 год.