Беспроводные телекоммуникационные системы (стр. 10 из 13)

4.1 Вероятности ошибок различения M известных сигналов

Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания y(t), завершающийся вынесением решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую и называют сигналом. Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания y(t), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов, принадлежащих указанному заранее множеству S{s₀(t), s₁(t), …, s_M-1(t)} присутствует в y(t). Обнаружение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю на всем интервале наблюдения.

Пусть наблюдаемое колебание y(t) является реализацией случайного процесса, который имеет распределение W_y, т.е. n-мерную плотность вероятности (ПВ) W(y) [либо функционал ПВ W(y(t))], принадлежащее одному из М непересекающихся классов W_i (W_i∩W_k=Ø, i≠k, i, k=0, 1, …, M-1). Необходимо, пронаблюдав реализацию y(t), решить, какому из классов принадлежит W_y. Предположение о том, что W_y

W_i, называют гипотезой H_i: W_y W_i. Решения, являющиеся результатом проверки гипотез, будем обозначать , где i {0, 1, …, M-1} – номер гипотезы, истинность которой декларируется принятым решением. Анализируемое колебание y(t) является результатом взаимодействия присутствующего в нем сигнала s_i(t) с мешающим случайным процессом (помехой, шумом) x(t): y(t)=F[s_i(t), x(t)]. От того, какой из М возможных сигналов присутствует в y(t), зависит ПВ ансамбля, которому принадлежит y(t), так что каждому s_i(t) соответствует некоторый класс W_i распределений ансамбля, представляемого y(t). Таким образом, гипотезы H_i трактуются как предположения о наличии i-го (и только i-го) сигнала в y(t). При этом решения , одно из которых служит итогом процедуры различения, есть утверждения о том, что в принятом колебании содержится именно i-й сигнал. Гипотезам H_i соответствуют классы W_i. Гипотезу H_i называют простой, если класс W_i содержит одно и только одно распределение. Любую другую гипотезу называют сложной. М сложных гипотез называют параметрическими, если соответствующие им классы отличаются друг от друга только значениями конечного числа параметров одного и того же распределения, описываемого известным законом. В противном случае гипотезы именуют параметрическими.

Рассмотрим различение М детерминированных ненулевых сигналов одинаковой энергии. При этом за основу будет принято правило максимального правдоподобия (МП)

оптимальное в том случае, когда критерием качества служит сумма условных вероятностей ошибок, либо полная вероятность ошибки при равных апостериорных вероятностях всех сигналов p_i=1/M.

При произвольном М различитель, придерживающийся правила МП, считает присутствующим в y(t) сигнал, наименее удаленный от y(t) в смысле евклидова расстояния

или, что при одинаковых энергиях сигналов равносильно, имеющий с y(t) максимальную корреляцию . Если рассматривать сигналы s₀(t), s₁(t), …, s_M-1(t) как пучок векторов, расположенный в М-мерном пространстве, то для того чтобы по возможности уменьшить вероятность перепутывания i-го сигнала с k-м, следует максимально «раздвинуть» i-й и k-й векторы. Таким образом, оптимальный выбор М детерминированных сигналов сводится к поиску такой конфигурации пучка М векторов, в которой минимальное евклидово расстояние между парой векторов было бы максимальным: mind_ik=max (i≠k). Так как при равенстве энергий, т.е. длин векторов

,

где ρ_ik – коэффициент корреляции i-го и k-го сигналов, Е – энергия сигнала, то требование максимума минимального расстояния тождественно условию минимума максимального коэффициента корреляции в множестве сигналов S{s₀(t), s₁(t), …, s_M-1(t)}. Предельно достижимый минимум максимального коэффициента корреляции устанавливается довольно легко. Просуммировав ρ_ik по всем i и k, получим

где неравенство следует из неотрицательности квадрата под интегралом. Кроме того, в сумме слева М слагаемых при i=k равны единице, а остальные М(М-1) не больше ρ_макс=max ρ_ik (i≠k). Поэтому М+М(М-1)ρ_макс≥0 и ρ_макс≥-1/(М-1).

Конфигурацию из М векторов, в которой косинус угла между любой парой векторов равен -1/(М-1), называют правильным симплексом. Если эти векторы взять в качестве М сигналов, то полученный детерминированный ансамбль при равновероятности всех s_i(t) обеспечит минимум полной вероятности ошибки P_ош, что и решает вопрос об оптимальном выборе М сигналов. При М>>1 выполняется соотношение -1/(М-1)≈0, и поэтому при большом числе различаемых сигналов ортогональный ансамбль практически не проигрывает симплексному в значении P_ош.

Последовательность вывода точного выражения для вероятности ошибки различения М сигналов с произвольными ρ_ik такова. Плотность вероятности (ПВ) системы случайных величин z₀, z₁, …, z_M-1 есть М-мерный нормальный закон, для задания которого достаточно знать средние всех z_i и их корреляционную матрицу. Для средних при истинности гипотезы H_l имеем

. Корреляционный же момент i-й и k-й корреляций равен N₀Eρ_ik/2. После того как М-мерная ПВ найдена, ее М-кратный интеграл по области z_l≥z_i, i=0, 1, …, M-1, позволяет получить вероятность правильного решения при условии истинности H_l. Сумма таких вероятностей, деленная на М (с учетом равновероятности сигналов), будет полной вероятностью правильного решения P_пр, связанной с P_ош очевидным равенством P_ош=1-P_пр. Получаемый таким образом М-кратный интеграл в ряде важных случаев удается свести к однократному. Так, для любых равнокоррелированных (равноудаленных) сигналов (ρ_ik=ρ, i≠k)

В практических расчетах это выражение используют редко из-за необходимости численного интегрирования. Полезна его оценка сверху, для вывода которой будем считать, что истинна гипотеза H_l. При этом ошибка происходит всегда, когда истинно хотя бы одно из событий z_i>z_l, i≠l. Вероятность ее P_ошl, равная вероятности объединения

событий z_i>z_l, i≠l, по теореме сложения вероятностей,

и в силу неравенства Буля не больше первой суммы справа. Так как каждое слагаемое этой суммы есть вероятность перепутывания двух сигналов [s_l(t) с s_i(t)], то для равноудаленных сигналов

Здесь

- отношение сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с s_i(t) при гипотезе H_i, - вероятность перепутывания двух сигналов. При равновероятных сигналах (p_i=1/M) приходим к так называемой аддитивной границе полной вероятности ошибки

Использование этого выражения оправдывается, с одной стороны, асимптотическим сближением его правой части и P_ош по мере роста требований к качеству различения (P_ош→0), а с другой – тем, что, выбирая необходимую энергию сигналов (минимальное значение q) исходя из правой части выражения, разработчик всегда действует с известной перестраховкой, гарантируя удержание фактической вероятности ошибки ниже цифры, принятой им при расчете. [9]

4.2 Вероятности ошибок различения M флуктуирующих сигналов

Далеко не всегда наблюдатель подробно априори осведомлен о различаемых сигналах. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и пр.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными, поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.