Динамический синтез систем автоматического управления (стр. 2 из 9)
Для определения перерегулирования (s) воспользуемся формулой:
Тогда
Т.е. получили, что перерегулирование удовлетворяет требованиям ТЗ.
Теперь найдем время регулирования (tp). Для этого строим “коридор”, равный ±0,022
Из рисунка видно, что tp=1,04с
Т.е. время регулирования не удовлетворяет требованиям ТЗ и данную систему следует откорректировать.
1.2 Анализ системы с пропорциональным регулятором
1.2.1 Структурная схема линеаризованной системы с пропорциональным регулятором
Пропорциональный регулятор реализует простейший линейный закон управления, при котором управляющий сигнал, подаваемый на вход объекта управления, представляет собой усиленный по величине и по мощности сигнал ошибки (рассогласования). В системах с невысокими требованиями такой закон иногда может обеспечить приемлемое качество регулирования и всегда полезно узнать, не относится ли к ним и наша система.
Cоставим структурную схему с пропорциональным регулятором:
 |
Рисунок 1.6 Структурная схема с пропорциональным регулятором
В установившемся режиме заданную точность обеспечивает низкочастотный участок. Проще всего оценить точность системы по ее реакции на гармонический входной сигнал.
,Из пункта 1.1
Для того, чтобы входное воздействие воспроизводилось с ошибкой, не превышающей em, ЛАХ системы должна проходить не ниже контрольной точки Akc координатами:
(1.3)
Построим запретную область (ЗО)
Рисунок 1.7 Запретная область
Определим минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы [1, § 12.6]с пропорциональным регулятором, учитывая
, где εm– относительная ошибка системы 
с-1 Отсюда, коэффициент усиления пропорционального регулятора:
1.2.2 Проверка устойчивости замкнутой системы
Для проверки устойчивости замкнутой системы воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. [1, § 6.2]
Запишем характеристическое уравнение системы:
Т.к. система 4 порядка, то достаточно определить D3
Т.к. определитель больше нуля и все коэффициенты положительны, то замкнутая система с пропорциональным регулятором устойчива.
Теперь проверим систему по критерию Найквиста: [1, § 6.5] анализируем разомкнутую систему, а вывод делаем об устойчивости замкнутой системы.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
Запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы:
Все корни характеристического уравнения левые, кроме одного нулевого. Если разомкнутая система на границе устойчивости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особую точку с координатами (-1;j0).
Выделим действительную и мнимую часть:
(1.5)
Будем изменять значения w от 0 до ¥ и находить соответствующие значения Р и Q.
Таблица 1.1
| w | P | Q |
| 0 | -11.25 | -¥ |
| 234.5 | 0 | 4,584*10-3 |
| 26.2 | -0.95 | 0 |
| ¥ | 0 | 0 |
Рисунок 1.8 Годограф Найквиста
Из рисунка видно, что замкнутая система устойчива.
Проверим устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам.
Построим логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (ЛФЧХ).
[1, § 4.4]
Определим модуль частотной передаточной функции для разомкнутой системы:
; 
(1.7)Определим L(w) и
; 
; 
Рисунок 1.9 ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с регулятором
Видно, что точка пересечения ЛФЧХ с линией -180о лежит немного правее точки пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс. Следовательно, замкнутая система устойчива.
Проверим систему на устойчивость по критерию Михайлова. [1, § 6.3]
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещественной положительной полуоси и при увеличении частоты последовательно проходил число четвертей, соответствующее порядку системы (нигде не обращаясь в 0).
Функция Михайлова для нашей системы:
Выделим вещественную и мнимую части:
; 
Построим годограф Михайлова по следующим значениям:
Таблица 1.2
w,  | X(w) | Y(w) |
| 0 | 85,227 | 0 |
| 25,6 | 0 | 1,105 |
| 26,2 | -4,252 | 0 |
| 233,1 | 0 | -1,8259∙104 |
 | ∞ | -∞ |
Рисунок 1.10 Годограф Михайлова для малых и больших частот соответственно
Следовательно, система устойчива.
Частота среза разомкнутой и замкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициент усиления, прямые показатели качества и косвенный показатель качества
Частота среза – это частота, в которой ЛАЧХ системы пересекает ось абсцисс. Определим ее по графику ЛАЧХ (рисунок 1.9):
L(w)=0 при w=25.59 c-1
Критическая частота(wkp) – частота, при которой фазовая характеристика пересекает уровень -1800.
wkp=1,418 с-1
Запасы устойчивости определим по формулам:
– запас устойчивости по амплитуде, 
–запас устойчивости по фазеПолучаем:
Определим критический коэффициент усиления системы Kkpпо критерию Михайлова.
Критический коэффициент усиления – такое значение Kp, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости.
Если система находится на границе устойчивости, то левая часть характеристического уравнения равна 0.
Откуда вытекают два равенства:
Следовательно, годограф Михайлова должен проходить через начало координат.
Запишем функцию Михайлова:
