Информационный процесс в автоматизированных системах (стр. 6 из 12)

3.6. Понятие о системах счисления

3.6.1. Что такое система счисления

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел [7].

Система счисления - это способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов, называемых цифрами.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы исчисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно.

В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел.

Системы счисления, в которых любое число получается путем сложения или вычитания базисных чисел, называются аддитивными. При таком представлении чисел правила сложения для небольших чисел очевидны и просты, однако если возникает необходимость выполнять операции сложения над большими числами или операции умножения и деления, то «римская» система счисления оказывается неудобной.

В этой ситуации преимущественнее оказываются позиционные системы счисления.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. В позиционной системе счисления представления чисел далеко не так просты и очевидны, как в «римской» системе счисления, систематичность представления, основанная на «позиционном весе» цифр, обеспечивает простоту выполнения операций умножения и деления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. В «римской» системе счисления каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, т.е. значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. В римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти, а I – это единица.

Для изображения чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующее число 10 и т.д. обозначается уже без использования новых цифр. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления: значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр:

, основана на представлении этого числа в виде полинома:

,

где каждый коэффициент аi, может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки. Запись числа X в формуле представляет собой просто перечисление всех коэффициентов этого полинома. Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

Количество К различных цифр, употребляющихся в позиционной системе счисления, называется ее основанием системы счисления, а сама система счисления называется К-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной - число 2; троичной - число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в K-ичной системе счисления достаточно иметь К разных цифр

. Эти цифры служат для обозначения некоторых различных целых чисел, называемых базисными.

Запись произвольного числа X в K-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

,

где каждый коэффициент а, может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. В качестве базисных чисел берутся последовательные целые числа от 0 до К-1 включительно.

Позиции цифры, отсчитанные от запятой (точки), отделяющей целую часть от дробной, называются разрядами. В позиционной системе счисления вес каждого разряда больше соседнего в число раз, равное основанию системы К.

Пример: Для десятичной системы счисления (основание К=10) имеем число 6321.564. Веса разряда и коэффициенты а для этого числа будут следующими:

Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (т.е.5 сотен + 6 десятков + 8).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. Нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании К системы счисления. Во всех позиционных системах счисления с любым основанием К умножения на числа вида Кm, где m - целое число, сводится просто к перенесению запятой у множимого на m разрядов вправо или влево (в зависимости от знака m), так же как и в десятичной системе.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, условимся при его изображении основание системы счисления указывать в виде нижнего индекса при нем, например, 35,648 или подстрочным индексом, заключенным в круглые скобки, например: 1101(2).

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

В настоящее время в ЭВМ применяют двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

3.6.2. Двоичная система счисления

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики, связи используется двоичная система счисления - система счисления с наименьшим возможным основанием, где для изображения числа используются две цифры: 0 и 1.

Двоичная система счисления имеет ряд преимуществ перед другими системами:

для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.);

представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел, т.е. в громоздкости записи чисел, но это не имеет существенного значения для ЭВМ. Если возникает необходимость кодировать информацию «вручную», например, при составлении программы на машинном языке, предпочтительнее оказывается пользоваться восьмеричной, или шестнадцатеричной системой счисления.

Произвольное число X в двоичной системе представляется в виде полинома:

,

где каждый коэффициент аi может быть либо 0, либо 1.

Пример: Двоичное число - 1011012

,

т.е.

.

Для отделения целой части от дробной используется точка (запятая). Значение веса разрядов справа от точки (запятой) равно основанию двоичной системы (2), возведенному в отрицательную степень. Такие веса - это дроби вида: 1/2, 1/22, 1/23, 1/24, 1/25 или 1/2, 1/4, 1/8, 1/16.

Каждая позиция, занятая двоичной цифрой, называется бит. Бит является наименьшей единицей информации в ЭВМ. Наименьшим значащим битом (МЗР) называют самый младший двоичный разряд, а самым старшим двоичным разрядом - наибольший значащий бит (СЗР). В двоичном числе эти биты имеют, соответственно, наименьший и наибольший вес. Обычно двоичное число записывают так, что старший значащий бит является крайним слева.

3.6.3. Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными числами являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами, являющимися указанными выше базисными числами.