>> a4=336;a3=147.1;a2=29.56;a1=4.348;a0=0.2156;

>> A2=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4];

>> B2=[0;0;0;1];

>> C2=[b0/a4 b1/a4 b2/a4 b3/a4];

>> D2=0;

>> sys2=ss(A2,B2,C2,D2)

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -0.0006417 -0.01294 -0.08798 -0.4378

b =

x1 0

x2 0

x3 0

x4 1

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0.0006417 0.009964 0.02547 0.003241

d =

y1 0

Continuous-time model.

>> step(sys2);grid

Рисунок 13 – Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 5 и 13), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИ-регулятором рассчитана верно.

3.2.2 Структурная схема САР с ПИ-регулятором

Рисунок 14 – Структурная схема САР с ПИ-регулятором

Рисунок 15 – Схема s-модели САР с ПИ-регулятором

Рисунок 16 – Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИ-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена, верно.

3.2.3 Оценка управляемости САР с ПИ-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:

Script 16:

>> Y2=[B2 A2*B2 A2^2*B2 A2^3*B2]

Y2 =

0 0 0 1.0000

0 0 1.0000 -0.4378

0 1.0000 -0.4378 0.1037

1.0000 -0.4378 0.1037 -0.0198

>> rY2=rank(Y2)

rY2 =4

>> dY2=det(Y2)

dY2 = 1

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

3.2.4 Оценка наблюдаемости САР с ПИ-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

Script 17:

>> H2=[C2; C2*A2; C2*A2^2; C2*A2^3]

H2 =

0.0006 0.0100 0.0255 0.0032

-0.0000 0.0006 0.0097 0.0241

-0.0000 -0.0003 -0.0015 -0.0009

0.0000 -0.0000 -0.0002 -0.0011

>> rH2=rank(H2)

rH2 =4

>> dH2=det(H2)

dH2 = -1.2054e-014

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит, она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

3.3 Анализ САР с ПИД-регулятором

3.3.1 Разработка математической модели типа «вход-состояние-выход»

Основная передаточная функция САР с ПИД-регулятором была получена в п. 1.5. Она имеет вид:

где

Порядок характеристического полинома

. Математическая модель данной САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

где

Script 18:

>> b4=1.836;b3=16.13;b2=19;b1=5.77;b0=0.396;

>> a4=337.8;a3=162.1;a2=40;a1=6.77;a0=0.396;

>> v0=b4/a4;

>> v1=(b3-v0*a3)/a4;

>> v2=(b2-v0*a2-v1*a3)/a4;

>> v3=(b1-v0*a1-v1*a2-v2*a3)/a4;

>> v4=(b0-v0*a0-v1*a1-v2*a2-v3*a3)/a4;

>> A3=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4];

>> B3=[v1;v2;v3;v4];

>> C3=[1 0 0 0];

>> D3=v0;

>> sys3=ss(A3,B3,C3,D3)

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -0.001172 -0.02004 -0.1184 -0.4799

b =

x1 0.04514

x2 0.03394

x3 -0.00466

x4 -0.001521

c =

x1 x2 x3 x4

y1 1 0 0 0

d =

y1 0.005435

Continuous-time model.

>> step(sys3);grid

Рисунок 17 – Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором

При исользовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 7 и 17), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИД-регулятором рассчитана, верно.

3.3.2 Структурная схема САР с ПИД-регулятором

Рисунок 18 – Структурная схема САР с ПИД-регулятором

Рисунок 19 – Схема s-модели САР с ПИД-регулятором

Рисунок 20 – Переходная характеристика САР с ПИД-регулятором

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИД-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена, верно.

3.3.3 Оценка управляемости САР с ПИД-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет вид (15):

Script 19:

>> Y3=[B3 A3*B3 A3^2*B3 A3^3*B3]

Y3 =

0.0451 0.0339 -0.0047 -0.0015

0.0339 -0.0047 -0.0015 0.0005

-0.0047 -0.0015 0.0005 -0.0000

-0.0015 0.0005 -0.0000 -0.0000

>> rY3=rank(Y3)

rY3 =4

>> dY3=det(Y3)

dY3 = -1.6937e-014

3.3.4 Оценка наблюдаемости САР с ПИД-регулятором

Script 20:

>> H3=[C3;C3*A3;C3*A3^2;C3*A3^3]

H3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

>> rH3=rank(H3)

rH3 =4

>> dH3=det(H3)

dH3 = 1

4 Анализ нелинейной САР

4.1 Описание нелинейнойСАР

Cтруктурная схема нелинейной САР представлена на рисунке 21.

Рисунок 21 – Структурная схема нелинейной САР

Роль АР выполняет ПИ-регулятор с передаточной функцией, полученной в п. 1.4:

Нелинейное звено – звено с насыщением (ограничением), статическая характеристика звена изображена на рисунке 22.

Рисунок 22 – Статическая характеристика нелинейного элемента

Параметры звена с насыщением:

4.1 Оценка возможности возникновения автоколебаний

Для оценки возможности и устойчивости автоколебаний в нелинейной САР по методу Гольдфарба необходимо линеаризовать систему. Применим к нелинейному элементу гармоническую линеаризацию. Тогда передаточная функция звена с насыщением будет иметь вид:

где

при

, т. е.

Таким образом, передаточная функция нелинейного элемента принимает вид:

Условие возникновения автоколебаний:

или

где

Исследование линейных и нелинейных систем управления (стр. 3 из 4)

3.3 Анализ САР с ПИД-регулятором

4 Анализ нелинейной САР

4.1 Описание нелинейнойСАР

4.1 Оценка возможности возникновения автоколебаний