Решение этой системы существенным образом зависит от величины линейных показателей преломления волн накачки n1,2(w) n1,2(2w). еличины n1,2(w,2w) могут быть найдены в результате решения системы уравнений
где:
H0 – напряженность земного магнитного поля, – угол между осью Z и направлением магнитного поля; и представляется в виде:
здесь верхний знак соответствует волне обыкновенной поляризации, нижний
– волне необыкновенной поляризации.
Легко видеть, что при
и v = 1подкоренное выражение обращается в ноль и, следовательно, ионосферная плазма в этой области перестает быть двоякопреломляющей. При углах aпорядка 50, а в случаях, когда
(что вполне возможно в ионосфере высоких широт) при углах a, 10 200 v » 1 . , n1,2, 2 v £ 1 1 v > 1. v = 1 , (), . (1.1), , , , v » 1 Dn1,2. , v » 1 (Dn1,2= 0) . (4), (5) :Если на границе области, где v » 1, , (1 = 0; 2 = 0), 0. 0 = p/2, будем иметь:
Интегрируя это уравнение найдем амплитуду второй гармоники
Таким образом, по мере распространения мощности волны от уровняпри v £ 1 к уровню
происходит перекачка ее энергии в энергию второй гармоники. Расстояние, на котором происходит основная (без учета поглощения – полная) перекачка, равно:Чтобы получить выражение для интенсивности излучения второй гармоники из рассматриваемой области, предположим для простоты, что взаимодействие происходит в цилиндре с радиусом a (естественно не превышающего раствора диаграммы направленности на высоте F слоя) и длиной L (составляющей несколько длин волн мощного излучения). Предположим также, что внутри цилиндра обе волны и плоские фазовые фронты их параллельны друг другу, а интенсивности постоянны во всем объеме.
Изменение показателя преломления волны I и П гармоник в зависимости от плазменной частоты
Рис. 1.1
Введем цилиндрическую систему координат с осью Z перпендикулярную волновым фронтам. Начало координат поместим в центре торца цилиндра с началом области, где v 1.
Определим поле в произвольной точке пространства как сумму полей создаваемых в этой точке каждой элементарной областью цилиндра взаимодействия. Для нахождения такой суммы нам необходимо знать амплитуду и фазу поля создаваемого любой элементарной областью цилиндра. Если мы положим равным нулю фазу волны при Z = 0, то фаза волны излучаемой областью (r,q,Z) будет
, а в произвольной точке пространства (r0,q0,Z0) этой волны будет , где r – расстояние между областями (r0,q0,Z0) и (r,q,Z). Чтобы определить поле, создаваемое в точке (r0,q0,Z0) цилиндром взаимодействия вычислим интеграл: , где V – объем цилиндра. (6)Пусть r0 – расстояние от точки (r0,q0,Z0) до начала координат. Тогда
. Кроме того, мы имеем соотношения:Применим теорему косинусов к треугольнику, образованному точками (r0,q0,Z0), (r,q,Z) и началом координат, получаем:
Объединяя выражения получаем квадратное уравнение относительно r. Корни этого уравнения равны:
(8)Применим формулу бинома Ньютона к выражению и пренебрегая членами со степенями выше первой относительно 1/r0 получаем:
Если точка r0,q0,Z0) достаточно удалена, то имеет место соотношение:
и мы можем выражение записать в виде:
интегрируя и умножая на комплексно сопряженную величину получаем:
где J1 – функция Бесселя первого порядка.