Классификация помехоустойчивых кодов. Особенности практического кодирования (стр. 3 из 3)
Определение. Расстоянием по Хэммингу между двумя q-ичными последовательностями х и у длины n называется число позиций, в которых они различны. Это расстояние обозначается через d(х, у).
Например, возьмем х = 10101 и у =01100; тогда имеем d (10101, 01100) = 3. В качестве другого примера возьмем х = 30102 и у = 21103; тогда d (30102, 21103) = 3.
Определение. Пусть C = {сi , i = 0, ..., М - 1} - код. Тогда минимальное расстояние кода C равно наименьшему из всех расстояний по Хэммингу между различными парами кодовых слов, т. е.
d* = min d(ci,сj).
(n, k)-код с минимальным расстоянием d* называется также (n, k, d*)-кодом.
В коде C, выбранном в примере, d (10101, 10010) =3, d (10010, 01110) = 3, d(10101, 01110) = 4, d(10010, 11111) == 3, d (10101, 11111) =2, d(01110, 11111) =2; следовательно, для этого кода d* = 2.
Предположим, что передано кодовое слово и в канале произошла одиночная ошибка. Тогда принятое слово находится на равном 1 расстоянии по Хэммингу от переданного слова. В случае, когда расстояние до каждого другого кодового слова больше чем 1, декодер исправит ошибку, если положит, что действительно переданным словом было ближайшее к принятому кодовое слово.
В более общем случае если произошло t ошибок и если расстояние от принятого слова до каждого другого кодового слова больше t, то декодер исправит эти ошибки, приняв ближайшее к принятому кодовое слово в качестве действительно переданного. Это всегда будет так, если
d* >= 2t + 1.
Иногда удается исправлять конфигурацию из t ошибок даже тогда, когда это неравенство не удовлетворяется. Однако если d* < 2t + 1, то исправление любых t ошибок не может быть гарантировано, так как тогда оно зависит от того, какое слово передавалось и какова была конфигурация из t ошибок внутри блока.
Геометрическая иллюстрация дается на рис. 3.4.
Рис. 3.4. Сферы декодирования.
В пространстве всех (q-ичных n-последовательностей выбрано некоторое множество n-последовательностей, объявленных кодовыми словами. Если d* - минимальное расстояние этого кода, а t - наибольшее целое число, удовлетворяющее условию d*>= 2t + 1, то вокруг каждого кодового слова можно описать непересекающиеся сферы радиуса t. Принятые слова, лежащие внутри сфер, декодируются как кодовое слово, являющееся центром соответствующей сферы. Если произошло не более t ошибок, то принятое слово всегда лежит внутри соответствующей сферы и декодируется правильно.
Некоторые принятые слова, содержащие более t ошибок, попадут внутрь сферы, описанной вокруг другого кодового слова, и будут декодированы неправильно. Другие принятые слова, содержащие более t ошибок, попадут в промежуточные между сферами декодирования области. В зависимости от применения последний факт можно интерпретировать одним из двух способов.
Неполный декодер декодирует только те принятые слова, которые лежат внутри сфер декодирования, описанных вокруг кодовых слов. Остальные принятые слова, содержащие более допустимого числа ошибок, декодер объявляет нераспознаваемыми. Такие конфигурации ошибок при неполном декодировании называются неисправляемыми. Большинство используемых декодеров являются неполными декодерами. Полный декодер декодирует каждое принятое слово в ближайшее кодовое слово. Геометрически это представляется следующим образом: полный декодер разрезает промежуточные области на куски и присоединяет их к сферам так, что каждая точка попадает в ближайшую сферу. Обычно некоторые точки находятся на равных расстояниях от нескольких сфер; тогда одна из этих сфер произвольно объявляется ближайшей. Если происходит более t ошибок, то полный декодер часто декодирует неправильно, но бывают и случаи попадания в правильное кодовое слово. Полный декодер используется в тех случаях, когда лучше угадывать сообщение, чем вообще не иметь никакой его оценки. Можно также рассматривать каналы, в которых кроме ошибок происходят и стирания. Это значит, что конструкцией приемника предусмотрено объявление символа стертым, если он получен ненадежно или если приемник распознал наличие интерференции или сбой. Такой канал имеет входной алфавит мощности q выходной алфавит мощности q + 1; дополнительный символ называется стиранием. Например, стирание символа 3 в сообщении 12345 приводит к слову 12-45. Это не следует путать с другой операцией, называемой выбрасыванием, которая дает 1245.
B таких каналах могут использоваться коды, контролирующие ошибки. В случае когда минимальное расстояние кода равно d*, любая конфигурация из р стираний может быть восстановлена, если d* >= р + 1. Далее, любая конфигурация из v ошибок и р стираний может быть декодирована при условии, что
d* >= 2v + 1 + р.
Для доказательства выбросим из всех кодовых слов те р компонент, в которых приемник произвел стирания. Это даст новый код, минимальное расстояние которого не меньше d* - р; следовательно, v ошибок могут быть исправлены при условии, что выполняется выписанное выше неравенство. Таким образом, можно восстановить укороченное кодовое слово с р стертыми компонентами. Наконец, так как d* > р + 1, существует только одно кодовое слово, совпадающее с полученным в нестертых компонентах; следовательно, исходное кодовое слово может быть восстановлено.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лидовский В.И. Теория информации. - М., «Высшая школа», 2002г. – 120с.
2. Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И.Нефедов, В.И.Халкин, Е.В.Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с.
3. Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . – М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.
4. Зюко А.Г. , Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. –368 с.
5. Б. Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003 г. – 1104 с.