Конструювання обчислювальної техніки (стр. 7 из 14)
.Приведений коефіцієнт жорсткості
. (2.3)Процедура приведення істотно спрощується, якщо здійснювати поетапне приведення паралельно або послідовно з’єднаних елементів (рис. 2.4)
Рис. 2.4. Типи з’єднань пружних елементів
Паралельне з'єднання характеризується тим, що пружні елементи мають однакові деформації (рис. 2.4 а): x1 = … = xi = … = xn. Ту ж саму деформацію має і приведений пружний елемент (рис. 2.4 в): x1 = q. Формула (2.3) для паралельного з’єднання пружних елементів набуде вигляду:
. (2.4)Приведений коефіцієнт жорсткості паралельно з’єднаних пружних елементів більше коефіцієнта жорсткості будь-якого елемента. При цьому сила F розподіляється між елементами, тобто
. Значення Fi = ci xi = ci q.Послідовне з’єднання характеризується тим, що кожний пружний елемент сприймає однакову силу (рис. 2.4 б). Потенціальну енергію такої системи запишемо в вигляді:
.З іншого боку
.Рівняння (2.3) для послідовного з’єднання пружних елементів, враховуючи останні формули, запишемо в такому вигляді:
. (2.5)Приведена податливість 1/с послідовно з’єднаних пружних елементів більша податливості будь-якого елемента. При цьому деформація всієї системи
. Значення деформації кожного елемента 
.На рис. 2.4, г зображено з’єднання двох пружних елементів. Це паралельне з’єднання, бо деформації обох елементів однакові по модулю і направлені проти дії пружної сили кожного елемента. Мають місце співвідношення: F = F1 + F2 та
.2.1.4 Приведення параметрів дисипації
В реальних механічних системах має місце незворотне перетворення механічної енергії в теплову. Це перетворення відбувається за рахунок сил тертя: зовнішніх чи внутрішніх. Елементи, в яких відбувається втрата механічної енергії, називають елементами дисипації (розсіювання).
З точки зору незмінності закону руху системи, дисипативні елементи еквівалентні, якщо вони в будь-який момент часу розсіюють однакову енергію.
Розсіювання механічної енергії в пружному елементі пов’язане з його нелінійністю (рис. 2.5). Графіки F(x) при прямій і зворотній деформації відрізняються між собою. Введемо такі позначення:
↑ A – робота сили при прямій деформації.Їй відповідає горизонтально заштрихована площа;
↓ А – робота сили при зворотній деформації.
Їй відповідає вертикально заштрихована площа;
↑↓А – розсіяна енергія, А↑↓= А↑–А↓.
Рис. 2.5. Характеристика F(x) нелінійного елемента
Коефіцієнт дисипації ψ вводиться як відношення
ψ = А↑↓ / А↑, (2.6)
де ψ – безрозмірний коефіцієнт, який визначає відносну частину розсіяної енергії від енергії, що накопичує пружний елемент.
Енергія, яку розсіює механічна система в пружних елементах дорівнює сумі енергій, що розсіює кожний дисипативний елемент. Умова незмінності розсіяної енергії при переході до одного приведеного елемента дисипації відображається рівнянням:
.Приведений коефіцієнт дисипації
. (2.7)При паралельному з’єднанні елементів дисипації формула (2.7) має вигляд:
. (2.8)При послідовному з’єднанні формула (2.7) має вигляд:
. (2.9)2.2 Вільні коливання одномасової системи
Розглянемо одномасову модель механічної системи (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Одномасова система
В стані рівноваги пружина розтягнута. Пружна сила врівноважує силу тяжіння mg. Стан рівноваги вибирається як початкове положення. Якщо систему вивести із стану рівноваги, вона здійснює коливання відносно початкового положення. Згідно закону Ньютона:
, (2.10)де пружна сила cq та сила тертя
направлені відповідно проти переміщення q та проти напрямку руху, тобто проти швидкості 
Рівняння (2.10) запишемо в канонічному вигляді:
, (2.11)де
– кутова частота власних коливань; n = b/2m, де b – кінематичний коефіцієнт тертя.Рівняння (2.11) – лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Воно описує вільні коливання. В реальних механічних системах значення коефіцієнта тертя b практично не впливає на частоту вільних коливань. Тому розв’язок рівняння (2.11) має вигляд:
q = e–nt (С1·sin kt + С2·cos kt) = e–ntA·cos(kt - j), (2.12)
де
; sin j = С1/A; cos j = С2/A.Сталі інтегрування С1 і С2 визначаються з початкових умов коливного процесу
і qo = q(0):С2 = qo; С1 = (
+ nqo)/ k. (2.13)Завдяки множнику е–nt навіть при малому значенні n система з часом припиняє свої вільні коливання:
при t®¥ значення е–nt=1/ent ® 0 (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Затухаючі вільні коливання
Вільні коливання відіграють дуже важливу роль у визначенні приведених параметрів механічної системи експериментальним способом.
Алгоритм експерименту:
1. Будується статична характеристика F = F(q) (рис.2.8) і визначається коефіцієнт жорсткості с = F / q.
Рис. 2.8. Статична характеристика F(q)
2. Збуджуються вільні коливання. Експериментально визначають Т або f й знаходять кругову частоту власних коливань:
k = 2π / T = 2πf.
3. Знаходять приведену масу:
4. Збуджують власні коливання і спостерігають їх затухання, вимірюють амплітуду А1 і Аs та визначають:
,де S – число коливань, що спостерігається (звичайно S = 10, 100, 1000, ...)
5. Визначають приведений коефіцієнт затухання:
n = 2λ / T.
2.3 Вимушені коливання при гармонічному збудженні
Розглянемо одномасову модель механічної системи, яка здійснює вимушені коливання під дією гармонічної сили (рис. 2.9):
F(t) = F0 cos ωt.
При F=0 та q=0 система має стан стійкої рівноваги.
Згідно закону Ньютона складаємо баланс сил:
.В канонічній формі рівняння набуває вигляду
, (2.14)де 2n=b/n, k2 =c/m,
. 
Рис. 2.9. Вимушені коливання
Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Його загальний розв’язок qЗ.Н. шукають у вигляді:
qЗ.Н. = qЗ.О. + qЧ.Н., (2.15)
де qЗ.О. – загальний розв’язок однорідного рівняння (при f0=0);
qЧ.Н. – частковий розв’язок неоднорідного рівняння.
Оскільки при t®¥ вільні коливання затухають, то достатньо визначити частковий розв’язок qЧ.Н.(t). Його шукаємо у вигляді гармоніки, бо гармонічною є права частина рівняння (2.14).
qЧ.Н. = Acos(ωt-j) = С1sin ωt+С2cos ωt. (2.16)
Сталі інтегрування відповідають усталеному режиму вимушених коливань, які визначають за таким алгоритмом. Диференціюємо рівняння (2.16) один, а потім ще один раз і одержимо відповідно
та 
, які підставляємо в рівняння (2.14). З умови тотожної рівності лівої і правої частини, прирівнюючи коефіцієнти при cos ωt та sin ωt, одержимо два алгебраїчні рівняння з двома невідомими А і tg φ. Остаточно одержимо: 
, 
. (2.17)2.4 Коефіцієнт динамічності
Рівняння (2.17) на практиці застосовують в іншому вигляді.
Введемо поняття коефіцієнта динамічності:
, (2.18)