Метод вейвлет-перетворення (стр. 6 из 9)

а потім виконується фільтрація сполученим фільтром

(його коефіцієнти – переставлені у зворотному порядку коефіцієнти

, у Фур'є-області це рівнозначно переходу к)

. У результаті виникає вектор . По визначенню, .Тепер замість вихідного сигналу ( ) досить запам'ятати пари ( ). Вихідний сигнал можна точно відновити по формулі:

Сигнал

удвічі коротше вихідного, а сигнал , як правило, майже цілком складається з дуже малих величин. Багато хто із цих величин можна без помітного збитку для точності відновлення замінити нулями, а інші закодувати більш короткими словами, чим компоненти вихідного сигналу. За рахунок цього загальна довжина запису ( ) буде істотно меншої довжини запису вихідного сигналу. Це скорочення стане ще більшим, якщо обчислити кілька поверхів ПЛ, і запам'ятовувати замість вихідного сигналу кілька поверхів ПЛ і останній поверх ПГ.

Ступінь стиску інформації цим методом залежить від вибору фільтра

. При експериментах з пірамідними представленням було зроблене спостереження: «якість» фільтра зручно виражати в термінах еквівалентної вагової функції.Ця функція виникає так. Неважко обчислити коефіцієнти фільтрів, згортка сигналу з якими дає відразу другий поверх ПГ, третій поверх, і т.д. Виявляється, що при відповідній нормуванню вектори цих коефіцієнтів сходяться до якоїсь граничної «форми» – графікові функції , що повинні задовольняти функціональному рівнянню[12]:

(3.1)

Процес одержання зображений на рисунку 5.2.

Рисунок 5.2 – Процес одержання графікові функції

5.1.2 Напівортогональний багато масштабний аналіз

Вейвлет-базис називається напівортогональним, якщо для будь-якого рівня дозволу

простір вейвлетів ортогональний простору (і, отже, всім просторам , , ... )[2]. Очевидно, що під класом напівортогональних вейвлетів є клас ортогональних вейвлетів, для якого додатково потрібна ортогональність базисних функцій . Відсутність такого обмеження дозволяє будувати, наприклад, гладкі симетричні вейвлети з компактним носієм (помітимо, що єдиними ортогональними симетричними вейвлетами з компактним носієм є вейвлети Хаара, які не володіють навіть безперервністю). У матричній формі умова напівортогональності можна записати в такий спосіб:

Якщо замість індексу j записати

, то маючи
й , умова напівортогональності буде виглядати так:

.

Якщо

й задані, то є рішенням однорідної системи рівнянь , де — відома матриця. Якщо однорідна система має нетривіальні рішення, то їх нескінченно багато, тобто визначається неоднозначно. Тому для визначеності на накладається ряд додаткових умов. Наприклад, ми хочемо, щоб побудовані нами вейвлети мали компактний носій і були симетричні. Це значить, що стовпці матриці повинні мати найменш можливе число підряд ідучих ненульових елементів, причому самі ланцюжки ненульових елементів повинні бути симетричними.

Прикладом напівортогональних вейвлетів є сплайнові вейвлети Сплайнові вейвлети будуються на основі B-сплайнів [3]. Існують різні види сплайнових вейвлетів. Ми розглянемо вейвлети, побудовані на основі нерівномірних B-сплайнів, що інтерполюють кінцеві крапки. Далі для стислості такі сплайни будемо називати просто B-сплайнами, а відповідні вейвлети — B-сплайновими вейвлетами. Будемо будувати B-сплайнові вейвлети на одиничному відрізку. Нехай m — ступінь сплайна, j — рівень дозволу. Простір

породжується B-сплайнами, побудованими на послідовності вузлів

Неважко показати, що побудовані в такий спосіб простори

, вкладені один в одного й задовольняють всім вимогам багато масштабного аналізу. На рис. 1 показані набори кубічних ( ) B-сплайнових скейлинг-функцій просторів і . Матриця має стовпців і рядків, всі стовпці, за винятком m перших і m останніх є зсуненими копіями стовпця , причому ненульові елементи цих стовпців є біноміальними коефіцієнтами, помноженими на . Нижче приводяться матриці , , і для кубічного випадку. [11, 12].

.

Рисунок 5.3 – B-сплайнові скейлинг-функції просторів

і .

Рисунок 5.4 – B-сплайнові вейвлети просторів

і .

Скейлинг-функції

й матриці задані. Взято стандартний скалярний добуток в Тепер можна шукати матрицю . Помітимо, що ця матриця повинна мати стовпців (розмірність простору ) і рядків. Як було відзначено вище, матриця (і, отже, вейвлет-базис) визначається неоднозначно. Матриця побудована таким чином, щоб вона була розрідженою й містила мінімальне число підряд ідучих ненульових елементів у стовпцях. Структура такої матриці схожа на структуру матриці : вона розріджена і її стовпці крім m перших і m останніх є зсунененими копіями один відносно одного. Нижче приводяться матриці , і для кубічного випадку, на рисунку 5.4 показані вейвлети просторів і .