Методы исследования нелинейных систем (стр. 1 из 4)
Предмет:
"Теория автоматического управления"
Тема:
"Методы исследования нелинейных систем"
1. Метод дифференциальных уравнений
Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:
где: 
– переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); 
– нелинейные функции; u – задающее воздействие.
Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:
,где 
– начальные условия.
Если отклонения
не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.2. Метод фазового пространства
Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).
Движение системы определяется изменением ее координат -
в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).Фазовым пространством называется пространство координат системы.
С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).
Рис. 2
Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.
Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.
Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.
Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.
Применение метода фазовой плоскости для линейных систем
Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Пусть задана система (рис. 3).
 |
Рассмотрим свободное движение системы. Приэтом: U(t)=0, e(t)=– x(t)
В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид
где 
(1)Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно
. (2)Корни характеристического уравнения определяются из соотношений
(3)Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы
уравнений 1-го порядка:
(4)где
скорость изменения регулируемой величины.В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.
Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.
. (5)Это уравнение с разделяющимися переменными
. (6)Рассмотрим несколько случаев
1. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(т.е. 
). (7)При этом переходной процесс описывается уравнениями
x = A sin (wt+j), (8)
y = Aw cos (wt+j),
т.е. представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой А и начальной фазой – j.
На фазовой плоскости (рис. 4) эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wA (где A – постоянная интегрирования).
Если обозначить
Уравнение эллипса можно получить решением уравнения фазовых траекторий
(9)Состояние равновесия определяется из условия
,при этом x0 = y0 = 0.
Особая точка называется "центр" и соответствует устойчивому равновесию, так как фазовые траектории от нее не удаляются.
2. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(10)При этом переходной процесс описывается уравнениями:
Из уравнения фазовых траекторий
получим уравнение 
Это уравнение семейства гипербол при изменении A (рис 5).
 |
 |
Рис. 5
Особая точка называется "седло". Уравнения асимптот (сепаратрис) при А = 0 имеют вид:
3. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(11)Фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 6), а точка равновесия называется "устойчивый фокус".
Рис. 6
4. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(12)Переходный процесс представляет собой расходящиеся колебания, фазовая траектория – разворачивающаяся спираль. Особая точка называется "неустойчивый фокус" (рис. 7).
Рис. 7
5. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(13)Переходный процесс имеет апериодический характер. Особая точка называется "устойчивый узел" (рис. 8).
Рис. 8
6. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(14)Особая точка называется "неустойчивый узел" (рис. 9).
Рис. 9
4. Методы построения фазовых портретов
Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.
Метод дифференциальных уравнений. Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.
Метод изоклин – это метод линий постоянного наклона.
Пусть даны уравнения нелинейной системы:
(15)