Оценка параметрической надежности РЭС с использованием моделирования на ЭВМ постепенных отказов (стр. 2 из 3)
(2.2) 
(2.3)Определяем математическое ожидание выходного параметра М* (Uвыхр) и его среднеквадратичное отклонение по формулам s* (Uвыхр):
М* (Uвыхр) =
, (2.4)s* (Uвыхр) =
. (2.5)Для определения точности и надежности полученных по формулам (2.4) и (2.5) оценок строим доверительные интервалы:
Ig= {Mн; Мв} =
. (2.6)Так как мы воспользовались “правилом трех сигм”, то доверительный интервал гарантируется с вероятностью g=0,9973.
Определяем верхнюю и нижнюю допустимые границы Uвыхр:
Uн = Uвыхи - DUвыхи, (2.7)
Uв = Uвыхи + DUвыхи. (2.8)
Так как мы воспользовались гипотезой о нормальном распределении выходного параметра, то искомую вероятность отсутствия параметрического отказа Рпар (tзад) определим с помощью формулы:
Рпар (tзад) (Uн £U£Uв) =
= Ф
(2.9)Где M* (Uвыхр/t=tзад) - математическое ожидание выходного параметра в момент времени t=tзад;
s* (Uвыхр/t=tзад) - среднеквадратичное отклонение выходного параметра в момент времени t=tзад [].
Графическая интерпретация формулы (2.9) приведена на рисунке (2.1).
 |
w (Uвых)
Рисунок 2.1 - Влияние процесса эксплуатации, температуры и разброса параметров элементов на распределение выходного параметра РЭУ
w (Uвых/t=0)
w (Uвых/t=tзад) S=Pпар (tзад)
UнUномUвUвых
3. Решение задачи на ЭВМ
Программа решения задачи оценки параметрической надежности написана на алгоритмическом языке Паскаль (листинг программы приведен в приложении А). В соответствии с алгоритмом решения задачи на ЭВМ, приведенным в графической части, наиболее сложными, с точки зрения программирования, при моделировании является генерация случайных чисел, распределенных по нормальному закону, а также нахождение нормальной функции распределения Ф (х).
В соответствии с [] формула получения случайных чисел, распределенных по нормальному закону с параметрами m и s следующая:
x = s×
+ m, (3.1)где m- математическое ожидание;
s - среднеквадратичное отклонение;
ri- равномерно распределенное случайное число в диапазоне 0. .1.
В написанной программе формула (3.1) реализована через функцию:
Function Generator (m: Real; s: Real): Real;
BEGIN
Delay (20);
x: =0;
FOR i: =1 TO 12 DO
BEGIN
k: =Random (1000) /1000;
x: =x+k;
END;
x: =x-6;
m: =m+s*x;
Generator: =m;
END;
Таким образом, введя Generator (m, s) получим случайное число, распределенное по нормальному закону с параметрами m = m и s = s.
Нормальная функция распределения Ф (x) в соответствии с [] определяется по формуле:
Ф (х) =
, если х³0, (3.2)Где p, ai- постоянные коэффициенты. Если x<0, то Ф (-х) = 1 - Ф (х).
Определение функции Ф (х) в соответствии с формулой (3.2) в программе реализовано следующим образом:
Function Fx (F: Real): Real;
CONST a1=0.3193815;
a2=-0.3565638;
a3=1.781478;
a4=-1.821256;
a5=1.330274;
p=0.2316419;
BEGIN
IF F>=0 THEN
BEGIN
w: =1-exp (-sqr (F) /2) * (1/sqrt (2*3.14)) * (
a1* (1/ (1+p*F)) +
a2* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) +
a3* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) +
a4* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) +
a5* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)));
Fx: =w;
END
ELSE
BEGIN
F: =-F;
w: =1-exp (-sqr (F) /2) * (1/sqrt (2*3.14)) * (
a1* (1/ (1+p*F)) +
a2* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) +
a3* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) +
a4* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) +
a5* (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)) * (1/ (1+p*F)));
Fx: =1-w;
END;
END;
Определение величины смещения параметров m = M (z) и s = s (z) с учётом коэффициента парной корреляции в соответствии с формулами (2.2) и (2.3) в программе реализовано следующим образом:
Procedure Corr (x1,mx,mz,sx,sz: real; Var mzx,szx: real);
begin
rxz: =0.95;
mzx: =mz+rxz* (sz/sx) * (x1-mx);
szx: =sz*sqrt (1-sqr (rxz));
end;
Таким образом, введя Corr (x1,mx,mz,sx,sz,mzx,szx) получим случайное число, распределенное по нормальному закону с параметрами m = M (z/x) и s = s (z/x).
В структурной схеме алгоритма решения задачи, приведенного в графической части, выполнение выше названных функций представлено в виде типового процесса.
Используемые в программе основные переменные и константы приведены в таблице 3.1
Таблица 3.1 - Основные переменные и константы, используемые в программе
| Переменная | Назначение |
| SR1. SR4,SU1,SU2 | Номинальные значения входных параметров |
| dR1. dR4,dU1,dU2 | Производственный допуск на входные параметры |
| R1. R4,U1,U2 | Нормально распределенные значения входных параметров |
| Uideal | Номинальное (идеальное) значение выходного параметра |
| dUideal | Допуск на выходной параметр |
| Uexit | Значение выходного параметра n-смоделированного РЭУ |
| M1 [n]. M4 [n] | Массивы, содержащие значения Uexit |
| temp | Равномерно распределенное значение температуры |
| time | Заданное время работы |
| n | Номер текущего смоделированного РЭУ |
| num | Число реализаций РЭУ |
| mo,mx,mz,mzx | Математическое ожидание |
| s,sx,sz,szx | Среднеквадратичное отклонение |
| rxz | Коэффициент парной корреляции |
| Р1, Р2 | Вероятности отсутствия параметрического отказа (2 способа) |
Остальные переменные носят вспомогательный характер.
4. Анализ результатов решения
Проанализируем результаты решения задачи на ЭВМ на примере.
После запуска программы Kurs. exe на экране дисплея появляются параметры элементов РЭУ и запрос на ввод данных: допуск на выходное напряжение, заданное время работы и число реализаций РЭУ.
Сопротивление R1=3000 Ом ± 10%
Сопротивление R2=10000 Ом ± 10%
Сопротивление R3=3000 Ом ± 10%
Сопротивление R4=10000 Ом ± 10%
Напряжение U1=0.1 В ± 10%
Напряжение U2=0.15 В ± 30%
Выходное напряжение Uexit=0.167 В
Введите допуск на Uexit,%: 30
Введите время tзад, час: 10000
Введите число реализаций РЭУ num: 100
Введем допуск на выходное напряжение 30%, заданное время работы 10000 час и число реализаций РЭУ - 100.
После ввода выше названных данных программа начинает моделировать РЭУ.
Программа производит расчёт выходного напряжения, при учете только одного из факторов для анализа их влияния, который проведем исходя из следующей группы сообщений:
Выходное напряжение: 0.167 В
Математическое ожидание, учитывая производственный допуск: 0.166 В
Среднеквадратичное отклонение: 0.062 В
Математическое ожидание, учитывая температурный допуск: 0.167 В
Среднеквадратичное отклонение: 0.001 В
Математическое ожидание, учитывая старение: 0.163 В
Среднеквадратичное отклонение: 0.002 В
Математическое ожидание, учитывая все факторы: 0.163 В
Среднеквадратичное отклонение: 0.061 В
Доверительный интервал: 0.144. .0.181 В
Из этого фрагмента видно, что влияние температуры и старения невелико, а основной вклад принадлежит производственному допуску (разбросу параметров) элементов.
После всех выше перечисленных предварительных расчетов определяем параметрическую надежность РЭУ, т.е. вероятность отсутствия параметрического отказа. В рассмотренном случае это:
Вероятность отсутствия параметрического отказа,
подсчитанная экспериментально:
Р=0.5800
Вероятность отсутствия параметрического отказа,
подсчитанная математически:
Р=0.5889
В этом фрагменте “экспериментальный” подсчет означает нахождение вероятности по первому способу, а “математически", соответственно, по второму (см. подраздел 2). Отсюда мы видим, что вероятности отсутствия параметрического отказа несколько различны. Очевидно, что “экспериментальный” способ в данном случае более точен. Разницу можно уменьшить увеличением числа реализаций РЭУ (см. таблицу 4.1). Отсюда следует, что можно применять гипотезу о нормальном распределении выходного параметра.
Проведем при помощи программы моделирования анализ влияния параметров элементов на выходной параметр, представленный в таблице 4.1
Таблица 4.1 - Влияние параметров элементов на выходной параметр
| tзад, час | 0 | 10000 | 100000 | |||||||
| N | 100 | 1000 | 2000 | 100 | 1000 | 2000 | 100 | 1000 | 2000 | |
| DUвых,% | 10 | |||||||||
| P (tзад)% | Эксп. | 24 | 19 | 21 | 19 | 22 | 21 | 20 | 19 | 19 |
| Мат. | 21 | 20 | 21 | 19 | 21 | 21 | 19 | 20 | 19 | |
| DUвых,% | 30 | |||||||||
| P (tзад)% | Эксп. | 63 | 59 | 57 | 54 | 58 | 57 | 54 | 55 | 52 |
| Мат. | 62 | 57 | 57 | 56 | 57 | 58 | 57 | 55 | 52 | |
| DUвых,% | 50 | |||||||||
| P (tзад)% | Эксп. | 77 | 81 | 82 | 83 | 82 | 82 | 79 | 78 | 78 |
| Мат. | 78 | 81 | 82 | 83 | 83 | 82 | 77 | 79 | 78 | |
Заключение
В результате проделанной работы было установлено: