Постановка задачі оптимального керування (стр. 2 из 3)

2. Крайові умови задачі оптимального детермінованого керування

Якщо множина мети керування

збігається з усім фазовим простором , то задача оптимального керування називається задачею з вільним кінцем траєкторії. У цьому випадку роль крайових умов відіграють початкові умови .

2. Якщо задані початкові

і кінцеві умови , то задача оптимального керування називається двоточковою задачею або задачею з фіксованими кінцями. При цьому інтервал часу керування може бути заданий або підлягає визначенню. Для даної задачі множина мети керування складається з єдиної точки .

3. Якщо значення координат (всіх або частини) вектора стану

задані для декількох фіксованих моментів часу , , …, , то задача оптимального керування називається багатоточковою задачею керування.

4. У задачах з рухомими кінцями необхідно визначити керування, що переводить об'єкт із деякого заздалегідь невідомого стану

в деякий стан , де множини , відомі. Якщо і вироджуються в точки, то задача оптимального керування стає задачею із фіксованими кінцями.

Якщо час

і початкових і кінцевих крайових умов і відомий, то задача оптимального керування називається задачею з фіксованим часом. Якщо ж невідомо, то задача називається задачею з вільним часом.

3. Критерії якості

Найчастіше задача керування має безліч розв’язків, тобто існує безліч керувань, які дозволяють досягти бажаної мети. У такому випадку виникає задача, як серед всіх припустимих керувань вибрати таке, для якого керований процес буде, в певному розумінні, найкращим. Інакше кажучи, якщо якість процесу можна оцінити деякою числовою характеристикою

– критерієм якості, то задача полягає у виборі такого керування, що забезпечить його оптимальне значення. Далі вважатимемо, що оптимальним є мінімальне значення критерію . Отже, задача оптимального керування полягає в тому, щоб визначити таке керування

, що реалізує ціль, і для якого функціонал набуває найменшого можливого значення:

.(4)

Процес

з (4) називається оптимальним процесом, а відповідні йому керування і фазова траєкторія – оптимальним керуванням і оптимальною траєкторією.

Припустимий процес

називається локально оптимальним у задачі з фіксованим часом , якщо для певного і для будь-якого припустимого процесу , що задовольняє умові

, ,

має місце нерівність

.

Якщо відрізок

не фіксований, то локально оптимальним процесом називається припустимий процес на інтервалі часу , для якого існує таке , що для будь-якого процесу , заданого на інтервалі часу , такого що

, , , ,

має місце умова

.

Існують такі типи критеріїв якості.

Для керування процесами (3) найчастіше використовуються інтегральні критерії:

.(5)

Інтегральні критерії розділяються на:

а) інтегральний критерій оптимальної швидкодії:

з підінтегральною функцією

;

б) інтегральний квадратичний критерій з підінтегральною функцією

,

де

;

, – коефіцієнти, серед яких є хоча б один ненульовий.

Вивчення системи може проводитися як на скінченному, так і на нескінченному інтервалі часу, тому в інтегралі (5)

;

в) енергетичні критерії якості з підінтегральними функціями

або ,

де

;

, – коефіцієнти, серед яких хоча б один ненульовий;

г) змішаний інтегральний критерій з підінтегральною функцією

.

2. Термінальні критерії якості:

,

наприклад, критерій кінцевого стану:

.

Даний критерій використовують, якщо необхідно привести систему в заданий кінцевий стан

у момент часу з мінімальною помилкою. У цьому випадку критерій кінцевого стану матиме вигляд

.

3. Змішані критерії якості:

,

які можна привести до інтегрального вигляду:

.

4. Задачі з дискретним часом

Дотепер ми розглядали процеси з неперервним часом, наприклад, процеси з законом руху у вигляді систем диференціальних рівнянь. Іноді важливими є лише значення станів системи в деякі дискретні моменти часу, або сам метод розв’язання потребує зробити дискретизацію задачі, тобто замінити диференціальні рівняння різницевими. У обох цих випадках використовують системи різницевих рівнянь вигляду