Постановка задачі оптимального керування (стр. 3 из 3)

або

,(6)

де

, а

– число кроків дискретизації процесу.

Початкові та кінцеві умови для задачі (6) мають вигляд:

.(7)

Аналоги інтегрального та термінального критеріїв якості для процесу (6) мають наступний вигляд.

1. Необхідно визначити такі вектори

, …,

, на яких величина

набуває мінімального значення за умов (6), (7).

2. Необхідно визначити такі вектори

, …,

, на яких величина

набуває мінімального значення за умов (6), (7).

5. Основні питання теорії оптимального керування

1. Керованість. Перед розв’язанням задачі оптимального керування необхідно з'ясувати питання про те, чи існує хоча б одне припустиме керування

, що переводить динамічний об'єкт із множини початкових станів

у множину кінцевих станів

, тобто чи існує таке припустиме керування

, для якого вектор фазових станів

задовольняє початковим і кінцевим умовам. Якщо таке керування існує, то об'єкт називається керованим із множини

у множину

. Інакше розв’язування задачі не має сенсу.

2. Існування оптимального керування. Якщо об'єкт керований, виникає питання про те, чи існує оптимальне керування. З математичної точки зору воно має важливе значення, оскільки математика працює з моделями реальних об'єктів, а відсутність у моделі оптимального керування може вказувати на те, що сама модель побудована невірно.

3. Необхідні умови оптимальності. Навіть у простих задачах може виявитися безліч припустимих керувань, які переводять систему із множини початкових станів у множину кінцевих станів (за умови, що оптимальне керування існує). Тому розв’язувати задачу оптимального керування перебором усіх можливих варіантів найчастіше неефективно. Виділити із усієї множини припустимих керувань підозрілі на оптимальність можна за допомогою необхідних умов оптимальності. Отже, задача пошуку оптимального керування зводиться до його пошуку серед тих керувань, які задовольняють необхідним умовам оптимальності, наприклад, принципу максимуму Понтрягіна.

4. Достатні умови оптимальності. Навіть у випадку використання необхідних умов оптимальності клас підозрілих на оптимальність керувань часто залишається досить широким. Вибрати з нього дійсно оптимальні керування можна за допомогою достатніх умов оптимальності. Якщо деяке керування із класу підозрілих на оптимальність задовольняє достатнім умовам оптимальності, то це гарантує його оптимальність. Можуть існувати задачі, у яких достатнім умовам задовольняють відразу кілька керувань. У цьому випадку вони всі є оптимальними.

5. Єдиність оптимального керування. Важливе значення має питання про те, чи є отримане оптимальне керування єдиним, тому що в цьому випадку може значно спроститися його реалізація для реальних керованих об'єктів.